Урок в 9 классе: "Примеры комбинаторных задач"

Примеры комбинаторных задач
Тема урока:
Учитель математики МКОУ СОШ № 27 г. Нязепетровска Берсенева Т.А.
9 класс
1 урок

2
Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называют комбинаторикой.
В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций.

3
Раздел математики,
в котором изучают
комбинаторные задачи,
называется
комбинаторикой

4
- раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
м
б
о
и
н
а
о
р
и
к
а
к

5
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход немецким философом, математиком Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

6
Познакомимся с некоторыми
приемами решения комбинаторных задач

решение методом перебора;
решение с помощью дерева возможных вариантов;
решение с помощью комбинаторного правила умножения;
решение с помощью таблиц;
решение с помощью графов.

7
№715
У Ирины 5 подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?
Замечание. При решении для краткости будем писать первые буквы имен.

8
Составим сначала все пары, в которые входит Вера.
ВЗ, ВМ, ВП, ВС
Выпишем теперь пары, в которые входит Зоя, но не входит Вера.
Далее составим пары, в которые входит Марина, но не входят Вера и Зоя.
Еще одна пара
ЗМ, ЗП, ЗС
МП, МС
ПС
Всего существует 4+3+2+1=10
Решение
Ответ:10 вариантов
Вера
Зоя
Марина
Полина
Света
Получим 4 пары.
Таких пар три.
Их две.
Далее составим пары, в которые входит Полина.

9
Рассмотрим еще одну задачу. На цветочной клумбе сидели шмель, жук, бабочка и муха. Два насекомых улетели. Какие пары насекомых могли улететь? Укажите все возможные варианты. Сколько таких вариантов?

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.
ш
ж
б
м

10
Решение
Всего 3+2+1=6
Ответ:6 вариантов
ш
ш
ш
ж
ж
б
б
б
ж
м
м
м

11
Таким образом, из трёх данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.
Ответ: 9 чисел.
Приемы решения комбинаторных задач
метод перебора
11;14;17; (начали с 1)
Решение: Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одного из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания:
Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1; 4; 7?
41;44;47; (начали с 4)
71;74;77; (начали с 7)

12
У Куклы Светы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светы?
Решение. 3·5 = 15
комбинаторное правило умножения

13
Решите задачу, используя
дерево возможных вариантов
В класс пришли четыре новых ученика Миша, Катя, Вася, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора будет?
Л
В
К
М

14
Ответ: 12 вариантов
Решение
М
В
К
Л

15
С помощью дерева возможных вариантов решите задачу №714.
Котлеты
Гуляш
Рассольник
Борщ
Обед
Пельмени
Сосиски
Котлеты
Гуляш
Пельмени
Сосиски

16
У Миши 4 ручки разного цвета и 3 блокнота разного размера. Сколько различных наборов из ручки и блокнота сможет составить Миша? Реши задачу, составив таблицу.
Приемы решения комбинаторных задач
задачи, решаемые с помощью таблиц
м
с
б
с
з
ч
к

17
12 различных наборов
м
с
б
з
ч
к
с

18
Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?
Приемы решения комбинаторных задач
задачи, решаемые с помощью таблиц
Ответ:15 чисел (5·3)
1
2
4
5
9
0
2
4
10
14
12
20
22
24
40
42
44
50
52
54
90
92
94

м
б
19
о
и
н
а
о
р
и
к
а
к
ГРАФ – совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи – как дуги, или ребра.
вершины
ребра

20
Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Ответ:10 рукопожатий

Домашнее задание:
п. 30
№ 716 (перебор), 720 (дерево), 723 (граф), 725 (таблица), 727 (умножение).

22
Существует много видов комбинаторных задач, это лишь некоторые из них.
Спасибо за внимание!