Презентация "Производная. Применение производной для решения задач»

Производная.
Применение производной к решению задач
Туманова Ирина Павловна,
ЧОУ «Православная классическая гимназия им. сщмнч. Константина Богородского»,
учитель математики, высшая категория

Теоретический материал

Определение производной

Правила дифференцирования

Геометрический смысл производной

Физический смысл производной

Производные основных элементарных функций

Возрастание и убывание функции
Исследовать функцию на монотонность — это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких убывает.
Нахождение промежутков возрастания и убывания функции – это одна из основных задач исследования функции.

Теоремы

Наименьшее и наибольшее значение функции
Точку х = х0 называют точкой минимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х = х0) выполняется неравенство: f(x) > f(x0).
Точку х = х0 называют точкой максимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, кроме самой точки х = х0, выполняется неравенство: f(x) < f(x0).
Такие точки называют точками экстремума функции.

Теоремы
Теорема 1. Если функция у = f(x) имеет экстремум в точке х = х0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Стационарные точки — это точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю.

Критические точки — это точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная функции не существует.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х0.
Тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней при х<х0 выполняется неравенство f ´(х) < 0, а при х>х0 — неравенство f ´(x)>0, то х = х0 — точка минимума функции y=f(x);
б) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней при х<х0 выполняется неравенство f ´(х)>0,а при х>х0 — неравенство f ´(x)<0, то х = х0 — точка максимума функции y=f(х);
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки х0 знаки производной одинаковы, то в точке х = х0 экстремума нет.

Практический материал

№ 1. На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). В какой точке отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение.
Решение:
Заметим, что на отрезке [–8; –4]
производная функции
отрицательна, значит, сама функция убывает, а значит,
наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правом
конце отрезка, то есть в точке –4.
Ответ: –4.
–
у = f ′(x)
f(x)

№ 2. На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [– 6; 6].
Решение:
В точке экстремума производная функции
равна 0 либо не существует.
Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак либо с «+» на «–», либо с «–» на «+».
Ответ: 3.
+
–
–
+

у = f ′(x)

Решение:
Заметим, что на интервале (–4; 8) производная в точке
хо = 4 обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак производной с «–» на «+», точка 4 и есть искомая точка экстремума функции на заданном интервале.
№ 3. На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 10). Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале (– 4; 8).
.
Ответ: 4.
–
+
у = f ′(x)

№ 4. На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней.
Ответ: 4.
Решение:
Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2x + 2 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент k = –2, а значит нам нужно найти
количество точек, в которых производная функции
f ′(x) = –2. Для этого на графике производной проведем прямую у = –2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. Таких точек 4.
у = f ′(x)
у = –2

№ 5. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Ответ: 6.
Решение:
Заметим, что производная функции отрицательна, если сама функция f(x) убывает, а значит, необходимо найти количество целых точек, входящих в промежутки убывания функции.
Таких точек 6:
х = −4, х = −3, х = −2,
х = −1, х = 0, х = 3.
–2
–1
–3
–4
0
3
у = f(x)
–6
5
у
х

0
у = f(x)
–6
6
у
х
2
4
6
3
5
1
№ 6. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = –5.
Ответ: 6.
Решение:
Прямая у = −5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках
k = f ′(х) = 0.
В нашем случае – это точки экстремума.
Таких точек 6.
у = –5
–5

№ 7. На рисунке изображен график у = f(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–7; 5) и
касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо.
Ответ: 1,25.
Решение:
Значение производной функции
f ′(хo) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной,
проведенной к графику этой функции в данной точке.
В нашем случае k > 0, так как
α – острый угол (tg α > 0).
Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа.
Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC.
tg α = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25
у = f(x)
4
А
В
С
5
хо
α
α

180°− α
№ 8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–10; 2) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо.
Ответ: −0,75.
Решение:
Значение производной функции
f ′(хo) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной,
проведенной к графику этой функции в данной точке.
В нашем случае k < 0, так как
α – тупой угол (tg α < 0).
Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа.
Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC.
tg(180°− α) = ВС : АС = 6 : 8 = 0,75
tg α = − tg (180°− α) = −0,75
8
А
В
С
6
хо
α
у = f(x)

.

№ 9. На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
у
х
у = f ′(x)
0
Решение:
В точке экстремума производная функции
равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек
принадлежащих отрезку [−10; 10] пять.
В точках х2 и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.
–
+
–
+
–
+
х1
х2
х3
х4
х5
max
max
Ответ: 2.
f(x)
–10
10

№ 10. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Решение:
Точки экстремума – это точки минимума и максимума.
Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять.
Найдем сумму их абсцисс:
-6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = -6.
Ответ: -6.
у = f ′(x)

№ 11. На рисунке изображен график производной у = f ′(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8).
Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
у = f ′(x)
+
+
Решение:
Заметим, что функция f(x) возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции.
Таких точек 7:
х = −3, х = −2, х = 3,
х = 4, х = 5, х = 6, х = 7.
Их сумма:
−3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20







7
5
3
-3
Ответ: 20.

№ 12. Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к графику функции у = х2 + 8х + 6. Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
Если прямая параллельна касательной к графику функции в какой-то точке (назовем ее хо), то ее угловой коэффициент (в нашем случае k = 4 из уравнения у = 4х +11) равен значению производной функции в точке хо:
k = f ′(xo) = 4
Производная функции
f ′(x) = (х2 + 8х + 6)′ = 2x + 8.
Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо, чтобы 2хo + 8 = 4,
откуда хо = – 2.
Ответ: – 2.

№ 13. Прямая у = 3х + 11 является касательной к графику функции у = x3 − 3x2 − 6x + 6. Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
Заметим, что если прямая является касательной к графику, то ее угловой коэффициент (k = 3) должен быть равен производной функции в точке касания, откуда имеем Зх2 − 6х − 6 = 3, то есть Зх2 − 6х − 9 = 0 или х2 − 2х − 3 = 0. Это квадратное уравнение имеет два корня: −1 и 3. Таким образом есть две точки, в которых касательная к графику функции у = х3 − Зх2 − 6х + 6 имеет угловой коэффициент, равный 3.
Для того чтобы определить, в какой из этих двух точек прямая
у = 3х + 11 касается графика функции, вычислим значения функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной.
Значение функции в точке −1 равно у(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8,
а значение в точке 3 равно у(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Заметим, что точка с координатами (−1; 8) удовлетворяет уравнению касательной, так как 8 = −3 + 11. А вот точка (3; −12) уравнению касательной не удовлетворяет, так как −12 ≠ 9 + 11.
Значит, искомая абсцисса точки касания равна −1.
Ответ: −1.

№ 14. Прямая у = 4х – 4 является касательной к графику функции ах2 + 34х + 11. Найдите а.
Решение:
Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo + 34 = 4. То есть ахo = –15.
Найдем значение исходной функции в точке касания:
ахo2 + 34хo + 11 = –15xo + 34хo + 11 = 19хo + 11.
Так как прямая у = 4х – 4 – касательная, имеем:
19хo + 11 = 4хo – 4, откуда хo = –1.
А значит a = 15.
Ответ: 15.

№ 15. Прямая у = – 4х – 5 является касательной к графику функции 9х2 + bх + 20. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Решение.
Если хо – абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = – 4 – 18хо.
Найдем хо:
9xo2 + (– 4 – 18хо) xo + 20 = – 4хo – 5,
9xo2 – 4xo – 18хо2 + 20 + 4хo + 5 = 0,
– 9xo2 + 25 = 0,
хо2 = 25/9.
Откуда xo = 5/3 или xo = –5/3.
Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = – 4 – 18 ∙ 5/3, имеем b = –34.
Ответ: –34.

№ 16. Прямая у = 2х – 6 является касательной к графику функции х2 + 12х + с. Найдите с.
Решение.
Обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной.
2хо + 12 = 2, откуда xo = –5.
Значение исходной функции в точке –5 равно:
25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2 ∙ (–5) – 6,
откуда с = 19.
Ответ: 19.

Благодарю за внимание!