Применение производной к исследованию функций

презентация учителя математики Верхнегерасимовской СШ І-ІІІ ступеней Горбань Натальи Геннадиевны Применение производной к исследованию функций

Понятие «производная» возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Готфрид Вильгельм фон Лейбниц Иcаак Ньютон 25 декабря 1642 — 20 марта 1727 1 июля 1646 — 14 ноября 1716,

Используя методы дифференциального исчисления английский астроном, математик Эдмон Галлей ещё в XVII веке предсказал возвращение кометы Галлея. (что, увы, было уже после его смерти). Комета действительно возвратилась, как было предсказано, и позже была названа в его честь. Комета Галлея вернется во внутреннюю Солнечную систему в следующий раз в 2061 году. В 1705 году Эдмонд Галлей предсказал, что комета, которую наблюдали в 1531, 1607 и 1682 годах, должна возвратиться в 1758 году

Найти производную функции Разминка

Признак возрастания и убывания функции =

По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Каждая из функций определена на R Ответ: на на

По графику производной функции определите промежутки возрастания и промежутки убывания функции Ответ: 1

На рисунке изображен график дифференцируемой функции y = h(x). Определите знак производной функции на промежутках -2 3 -5 5 1

Укажите критические точки функции , используя график производной функции . Ответ:

1 1 -1 0 х у -1 у х 1 0 -1 1 -1 y=f(x) y=g(x) Касательная в таких точках графика параллельна оси ОХ, а поэтому производная в этих точках равна 0; Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или производная не существует, называются критическими. Касательная в таких точках графика не существует, а поэтому производная в этих точках не существует.

производная равна нулю (стационарные точки) критические точки производная не существует максимума «+» на «-» минимума «-» на «+» перегиба знак не меняется максимума «+» на «-» минимума «-» на «+» излома знак не меняется плавные линии угловатые линии точка точка точка точка точка точка

Достаточное условие существования экстремума функции: Если при переходе через критическую точку х0 функции f(x) ее производная меняет знак с «+» на «-», то х0 – точка максимума функции f(x). Если при переходе через критическую точку х0 функции f(x) ее производная меняет знак с «-» на «+», то х0 – точка минимума функции f(x). 3) Если при переходе через критическую точку х0 функции f(x) ее производная не меняет знака, то в точке х0 экстремума нет.

Исследование функций с помощью производной и построение графиков функций.

Схема исследования функции Найти область определения функции; Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность; Найти точки пересечения графика функции с осями координат; Исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции; Найти точки экстремума и экстремальные значения функции; Построить график функции.

x 1 2 3 4 5 -1 -2 -4 -1 -2 1 -3 -5 0 возрастает возрастает убывает Построить эскиз графика функции, зная, что y -4 X -3 1 + 0 - Не существует + 2 -4 max min

Образец выполнения работы. Оформление работы учеником. а) ; б) в) критические точки: - ; 1. г) по результатам исследования составляем таблицу: д) строим график функции: 1 3 х у -5 -2 3 -7 х -3 1 у/(х) + 0 – 0 + у(х) - экстремум max min

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на отрезке [a;b] Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции f(x) на промежутке [a;b], нужно вычислить её значения f(a) и f(b) на концах данного промежутка вычислить её значения в критических точках, принадлежащих этому промежутку выбрать из них наибольшее и наименьшее. Записывают так: max f(x) и min f(x) [a;b] [a;b]