Презентация по математике на тему "Применение производной"

Применение производной в экономике

Преподаватель математики ГАПОУ СО «СКВТСиС» Топорищева Н.В.

Производная – одно из фундаментальных понятий математики
Позвольте предложить вашему вниманию задачу на применение производной экономического содержания, связанную с работой швейного цеха

Задача
Полученное производственное задание по пошиву одежды может быть выполнено на 10 рабочих местах за 12 рабочих смен. Каждому работнику выплачивают 960 рублей за смену и 800 рублей премиальных за выполнение всего задания. Оплата всего вспомогательного персонала составляет 6000 рублей за смену. На скольких рабочих местах следует выполнять задание, чтобы суммарная оплата была наименьшей?
Чему будет равна эта оплата?

Вот такую задачу предстоит решить менеджеру швейного производства, арифметические или алгебраические методы не приведут к оптимальному решению. Давайте решать вместе с менеджером!

Обозначим : x – число рабочих мест (или работников); y – число рабочих смен; S – стоимость работы, тогда S = 800x + 6000y + 960xy.

/Здесь 800 x (р) – столько надо заплатить премиальных всем работникам после выполнения задания;
6000 y (р) надо заплатить вспомогательному персоналу за все y смен;
960 xy (р) надо заплатить всем х работникам за выполненное задание в течение y смен./
По условию задачи x∙y = 10∙12 =120 ⇒ y = 𝟏𝟐𝟎 х
  Введём функцию f(x) = S(х) = 800x + 𝟔𝟎𝟎𝟎∙𝟏𝟐𝟎 х + 960∙120 = 800х + 𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 х + 115200, где x > 0.
Найдём производную:
f’ (x) = (800x + 𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 х + 115200)’= 800 - 𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 х 𝟐 = 𝟖𝟎𝟎 х 𝟐 −𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 х 𝟐 = 𝟖𝟎𝟎 х 𝟐 −𝟗𝟎𝟎 х 𝟐 .
Найдём критические точки функции, приравняв производную нулю
f’ (x) = 0, если х 𝟐 −𝟗𝟎𝟎 = 0, х 𝟐 = 900, х = 30 (берём x > 0).

Проведём исследование функции с помощью производной f’ (x) = 𝟖𝟎𝟎 х 𝟐 −𝟗𝟎𝟎 х 𝟐 , где x > 0

Вывод


Минимальное значение функция (а значит и сумма выплат) принимает при х = 30, поэтому
необходимо создать 30 рабочих мест и работать в течение четырёх смен (y = 120:30 = 4).

Вычислим минимальную сумму выплат по формуле S(х) = 800х + 𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 х + 115200
S = 800∙30 + 720000:30 + 115200 = 24000 + 24000 + 115200 = 163200(р)

Если бы остался прежний бизнес-план, т.е. х = 10, y = 12, то сумма выплат была бы

S = 800∙10 + 720000:10 + 115200 = 8000 + 72000 + 115200 = 195200(р)

Возьмём любые другие числа х и y, например х = 60, y = 2, тогда

S = 800∙60 + 720000:60 + 115200 = 48000 + 12000 + 115200 = 175200(р)

Вот так производная помогла менеджеру швейного цеха найти оптимальное решение экономической задачи!
f’ (x) = (800x + 𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 х + 115200)’

Использованные источники
1. Учебник: Алимов Ш. А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия /10—11 классы. — М., 2017/
2. http://www.mathematics.ru (Математика в Открытом колледже)
3. Сайты сети интернет