Презентация по алгебре на тему "Уравнение касательной к графику функции" (10класс)

Уравнение касательной к графику функции

Упражнение:
Найдите производные функций:

𝑦= 4𝑥−6 15

𝑦= 𝑠𝑖𝑛 𝑥−5𝑥+7

𝑦= 5𝑥+7


𝑦 ′ =60 4𝑥−6 14
𝑦 ′ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 −5
𝑦 ′ = 5 2 5𝑥+7

𝑂
𝑦
𝑥
𝐿
𝑦=𝑓(𝑥)
𝑎
𝑓(𝑎)
(𝑎, 𝑓 𝑎 )
Составить уравнение касатель-ной к графику функции 𝑦=𝑓 𝑥 в точке с абсциссой 𝑥=𝑎.
Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема и 𝑓 ′ (𝑎) существует.
𝑦=𝑘𝑥+𝑚
Если к графику функции 𝑦=𝑓(𝑥) в точке с абсциссой 𝑥=𝑎 можно провести касательную, непараллельную оси OY, то 𝑓 ′ (𝑎) выражает угловой коэффициент касательной: 𝑘= 𝑓 ′ (𝑎)
𝑘= 𝑓 ′ (𝑎)
𝑓 𝑎 = 𝑓 ′ 𝑎 ⋅𝑎+𝑚
𝑚=𝑓 𝑎 − 𝑓 ′ (𝑎)⋅𝑎
𝑦= 𝑓 ′ 𝑎 ⋅𝑥+𝑓 𝑎 − 𝑓 ′ (𝑎)⋅𝑎
𝑦=𝑓 𝑎 + 𝑓 ′ (𝑎)⋅(𝑥−𝑎)

Пример:
К графику функции 𝑦= 𝑥 2 провести касательную в точке 𝑎=1.

Решение:
𝑦=𝑓 𝑎 + 𝑓 ′ (𝑎)⋅(𝑥−𝑎)
𝑎=1
𝑓 𝑎 = 𝑎 2 = 1 2 =1
𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 2 ′ =2𝑥
𝑓 ′ 𝑎 =2⋅1=2
𝑦=1+2 𝑥−1
𝑦=1+2𝑥−2⇔𝑦=2𝑥−1

𝑂
𝑦
𝑥
𝑦= 𝑥 2
1
𝑦=2𝑥−1

Пример:
К графику функции 𝑦= 𝑠𝑖𝑛 𝑥 провести касательную в точке 𝑎=0.

Решение:
𝑦=𝑓 𝑎 + 𝑓 ′ (𝑎)⋅(𝑥−𝑎)
𝑎=0
𝑓 𝑎 = 𝑠𝑖𝑛 𝑎 = 𝑠𝑖𝑛 0 =0
𝑓 ′ 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ′ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑓 ′ 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 0 =1
𝑦=0+1 𝑥−0
𝑦=𝑥

𝑂
𝑦
𝑥
𝑦= 𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑦=𝑥

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции 𝑦=𝑓 𝑥 :
Обозначить абсциссу точки касания буквой 𝑎.
Вычислить 𝑓(𝑎).
Найти 𝑓 ′ (𝑥) и вычислить 𝑓 ′ (𝑎).
Подставить найденные числа 𝑎, 𝑓 𝑎 , 𝑓 ′ (𝑎) в общее уравнение касательной 𝑦=𝑓 𝑎 + 𝑓 ′ (𝑎)⋅(𝑥−𝑎).

𝑥
𝑦=𝑓(𝑥)
𝑎
𝑥
∆𝑥
𝑓(𝑥)
𝑦(𝑥)
𝑓(𝑥)≈𝑦(𝑥)
𝑦=𝑓 𝑎 + 𝑓 ′ (𝑎)⋅(𝑥−𝑎)
𝑦=𝑓 𝑎 + 𝑓 ′ (𝑎)⋅∆𝑥

Пример:
Вычислить приближенно 4,08 .
Решение:


𝑎=4
𝑓 𝑎 =2
∆𝑥=4,08−4=0,08
𝑂
𝑦
𝑥
1
4,08
4
𝑓(4,08)
0,08
𝑦(4,08)
𝑦=𝑓 𝑎 + 𝑓 ′ (𝑎)⋅∆𝑥
𝑦= 𝑥
𝑓 ′ 𝑥 = 1 2 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 4 = 1 2 4 =0,25
𝑦= 4,08 =2+0,25⋅0,08=2,02
Ответ: 4,08 ≈2,02

Пример:
Вычислить приближенное значение выражения 1 0,997 30 .
Решение:
1 0,997 30 = 0,997 −30
𝑦=𝑓 𝑎 + 𝑓 ′ (𝑎)⋅∆𝑥
𝑦= 𝑥 −30
𝑎=1⇒𝑓 1 = 1 −30 =1, ∆𝑥=0,997−1=−0,003
𝑓 ′ 𝑥 =−30 𝑥 −31 ⇒ 𝑓 ′ 1 =−30⋅ 1 −31 =−30
𝑦=1−30⋅ −0,003 =1,09

Ответ: 1 0,997 30 ≈1,09

Сложная кривая в окрестности точки 𝑥 0 заменяется прямой (касательной к графику функции) и если ∆𝑥 не велики, то для каждой функции можно вывести соответствующую формулу, по которой осуществляются приближенные вычисления.