Презентация по геометрии "Координаты вектора" (9 класс)

Вектор – направленный отрезок
А B вектор АВ 𝐴𝐵 =5см – модуль вектора (длина вектора)

𝑎 вектор 𝑎 𝑎 =2см – модуль вектора равен 2 см


𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
Коллинеарные векторы – лежат на одной прямой ( 𝑎 и 𝑏 , 𝑎 и 𝑐 , 𝑏 и 𝑐 )
или на параллельных прямых ( 𝑎 и 𝑑 , 𝑏 и 𝑑 , 𝑐 и 𝑑 )
Сонаправленные векторы – коллинеарные векторы, направленные в одну сторону
( 𝑎 ⇈ 𝑑 , 𝑎 ⇈ 𝑏 , 𝑏 ⇈ 𝑑 )
Противоположно направленные векторы – коллинеарные векторы, направленные
в противоположные стороны
( 𝑎 ↑↓ 𝑐 , 𝑏 ↑↓ 𝑐 , 𝑑 ↑↓ 𝑐 )
Равные векторы – сонаправленные и равны их модули ( 𝒂 = 𝒅 , т.к. 𝒂 ⇈ 𝒅 и 𝒂 = 𝒅 )
Противоположные векторы – противоположно направленные и равны их модули
( 𝑐 =− 𝑏 или 𝑏 =− 𝑐 , т.к. 𝑏 ↑↓ 𝑐 и 𝑏 = 𝑐 )

Сумма (разность) векторов – это вектор
Даны векторы чтобы построить 𝑑 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 , нужно
выстроить цепочку из векторов, цепляя
начало следующего вектора к концу
предыдущего. Когда цепочка из векторов
выстроена, соединить отрезком начало
первого вектора с концом последнего,
и направить этот отрезок от начала к концу.

𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
Если же необходимо вычесть вектор, то это равносильно прибавлению противоположного ему вектора.
Например, 𝑒 = 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 +(− 𝑏 ), в этом случае строим цепочку из векторов 𝑎 и − 𝑏 . Вектор − 𝑏 такой же как и вектор 𝑏 , но направлен в противоположную сторону.

− 𝑏
𝑎
− 𝑏
𝑒
Рассмотренное правило сложения векторов называется правилом многоугольника.
А в случае сложения двух векторов – правилом треугольника.

Правило параллелограмма
При сложении векторов по правилу параллелограмма векторы откладывают от одной точки (А), полученную конструкцию достраивают до параллелограмма, диагональ выходящая из этой точки (А) и направленная от точки А – это и есть сумма векторов.
Пример: построить 𝑐 = 𝑎 + 𝑏
𝑎
𝑏
A
𝑎
𝑏
𝑐
Если нужно построить 𝑑 = 𝑎 − 𝑏 , то это равносильно построению вектора 𝑎 +(− 𝑏 )
A
𝑎
− 𝑏
𝑑

Умножая вектор на число, получаем вектор
Пример: построить вектор 𝑏 =5∙ 𝑎
𝑎
𝒃
Полученный вектор 𝑏 ⇈ 𝑎 и 𝑏 =5∙ 𝑎
Если же мы умножаем вектор на отрицательное число, то получим вектор противоположно направленный.
Например, построим
с =−3∙ 𝑎 =3∙(− 𝑎 )
𝑐 =−3∙ 𝑎
Полученный вектор 𝑐 ↑↓ 𝑎 и 𝑐 =3∙ 𝑎

Лемма о коллинеарных векторах
Если 𝑎 и 𝑏 коллинеарны, то существует такое число k, что 𝑎 =𝑘∙ 𝑏

𝑎
2 см
𝑏
4 см
𝑎 𝑏 = 2 4 = 1 2 ⇒ 𝑎 = 1 2 ∙ 𝑏 , а т.к. 𝑎 ⇈ 𝑏 , то 𝑎 = 1 2 ∙ 𝑏
или 𝑏 =2∙ 𝑎
Если векторы сонаправлены, то 𝑘>0
𝑐
4 см
𝑎 𝑐 = 2 4 = 1 2 ⇒ 𝑎 = 1 2 ∙ 𝑐 , а т.к. 𝑎 ↑↓ 𝑐 , то 𝑎 =− 1 2 ∙ 𝑐
или 𝑐 =−2∙ 𝑎
Если векторы противоположно направлены, то 𝑘<0

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам
𝑎
𝑏
𝑐
Отложим все три вектора от одной точки А
А
𝑎
𝑏
𝑐
Через конец вектора 𝑐 проведем прямые 𝑎∥ 𝑎 и 𝑏∥ 𝑏
a
b
Продолжим прямую, на которой лежит вектор 𝑎 до пересечения с прямой 𝑏
Обозначим вершины параллелограмма буквами B, C, D
B
C
D
Вектор 𝐴𝐶 = 𝑐 , 𝐴𝐷 =𝑥∙ 𝑎 , 𝐴𝐵 =𝑦∙ 𝑏
по правилу параллелограмма 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 + 𝐴𝐵
Значит с =𝑥∙ 𝑎 +𝑦∙ 𝑏
с =𝑥∙ 𝑎 +𝑦∙ 𝑏 – это есть разложение вектора 𝑐 по неколлинеарным векторам 𝑎 и 𝑏 .
𝑥 и 𝑦 в этом разложении – это числа, которые называются коэффициентами разложения.
Коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Координаты вектора

Координатные векторы – единичные векторы 𝑖 , 𝑗 (по длине равны единичному отрезку 𝑖 =1, 𝑗 =1),
сонаправленные с осями координат 𝑖 ⇈𝑂𝑥, 𝑗 ⇈𝑂𝑦.
0
x
y
1
1
𝑖
𝑗
Любой вектор можно разложить
по двум неколлинеарным векторам.
В том числе и
по неколлинеарным векторам
𝑖 и 𝑗
y
x
0
𝑖
1
𝑗
1
𝑎
A
B
По правилу параллелограмма
𝑎 = 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
𝑂𝐴 =−2∙ 𝑖 , 𝑂𝐵 =3∙ 𝐽
Значит 𝑎 =−2∙ 𝑖 +3∙ 𝑗
Числа –2 и 3 – коэффициенты разложения, и они же являются координатами вектора в данной системе координат. 𝑎 −2;3
𝑏
𝑖
−2 𝑗
𝑏 =1∙ 𝑖 −2∙ 𝑗
Коэффициенты этого разложения 1 и –2, значит координаты вектора 𝑏 1;−2

Если 𝑎 =𝑥∙ 𝑖 +𝑦∙ 𝑗 ,
то координаты
𝑎 𝑥;𝑦
Координаты равных векторов соответственно равны
𝑎 𝑥 1 ; 𝑦 1 , 𝑏 𝑥 2 ; 𝑦 2
если 𝑎 = 𝑏 , то 𝑥 1 = 𝑥 2 и 𝑦 1 = 𝑦 2

Правила нахождения координат суммы, разности векторов, произведения вектора на число

Задача: найти координаты векторов
𝑎 + 𝑏 , 𝑎 − 𝑏 , −5∙ 𝑎 , если 𝑎 1;−2 , 𝑏 3;5

𝑎 =1∙ 𝑖 −2∙ 𝑗 , 𝑏 =3∙ 𝑖 +5∙ 𝑗

2) 𝑎 + 𝑏 =1∙ 𝑖 −2∙ 𝑗 +3∙ 𝑖 +5∙ 𝑗 =4 𝑖 +3 𝑗
⇒ 𝑎 + 𝑏 4;3

3) 𝑎 − 𝑏 =1∙ 𝑖 −2∙ 𝑗 − 3∙ 𝑖 +5∙ 𝑗 =
=1∙ 𝑖 −2∙ 𝑗 −3∙ 𝑖 −5∙ 𝑗 =−2 𝑖 −7 𝑗
⇒ 𝑎 − 𝑏 −2;−7

4) −5∙ 𝑎 =−5∙ 1∙ 𝑖 −2∙ 𝑗 =−5 𝑖 +10 𝑗
⇒−5 𝑎 −5;10
Правила в общем виде
Если 𝑎 𝑥 1 ; 𝑦 1 , 𝑏 𝑥 2 ; 𝑦 2 , то

𝑎 + 𝑏 𝑥 1 + 𝑥 2 ; 𝑦 1 + 𝑦 2

𝑎 − 𝑏 𝑥 1 − 𝑥 2 ; 𝑦 1 − 𝑦 2

𝑏 − 𝑎 𝑥 2 − 𝑥 1 ; 𝑦 2 − 𝑦 1

𝑘 𝑎 𝑘 𝑥 1 ;𝑘 𝑦 1