Презентация по математике на тему "Показательная функция"(1 курс)

Показательная функция, её свойства и график. Показательные уравнения и неравенства.
Разработала: Л. Н. Ткаченко
преподаватель математики
ГБПОУ ВО «ВПТ»
Для 1 курса специальности 23.02.07

Функция вида 𝒚= 𝒂 𝒙 где а - заданное число, 𝒂>𝟎 , 𝒂≠𝟏, 𝒙 -переменная, называется показательной.
Примеры показательной функции:
𝒚= 𝟐 𝒙 , 𝒚= 𝟎,𝟑 𝒙 ,𝒚= 𝟐 𝟓 𝒙







-  
;

Показательная функция обладает следующими свойствами:
О.О.Ф: множество R всех действительных чисел;
Мн.зн.: множество всех положительных чисел;
Показательная функция у=ах является возрастающей на множестве всех действительных чисел,если а>1,и убывающей,если 0<а<1;
Не является ни четной, ни нечетной;
Не ограничена сверху,ограничена снизу;
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
Непрерывна;
Если а>1 ,то функция выпукла вниз.

Графики функции у=2х и у=(½)х
1.График функции у=2х
проходит через точку (0;1) и
расположен выше оси Ох.
𝑎>1, 𝐷 𝑦 =R, 𝐸 𝑦 = 0;+∞
Возрастает на всей области определения.

2. График функции у= также
проходит через точку (0;1) и
расположен выше оси Ох.
0<𝑎<1, 𝐷 𝑦 =R, 𝐸 𝑦 = 0;+∞
Убывает на всей области определения.

Свойства графика логарифмической функции.
Графики показательной функции проходят через точку с координатами (0; 1).
2. График показательной функции лежит в верхней координатной полуплоскости.
3. Имеет выпуклость вниз при
𝑎>1, 0<𝑎<1.

Теорема 1. Если 𝑎>1 , то равенство 𝒂 𝒔 = 𝒂 𝒕 справедливо тогда и только тогда, когда 𝒔=𝒕.


Теорема 2. Если 𝒂>𝟏 , то неравенство 𝒂 𝒙 >𝟏 справедливо тогда и только тогда, когда 𝒙>𝟎; неравенство 𝒂 𝒙 <𝟏 справедливо тогда и только тогда, когда 𝒙<𝟎.
Теорема 3. Если 0<𝒂<𝟏 , то неравенство 𝒂 𝒙 >𝟏 справедливо тогда и только тогда, когда 𝒙<𝟎; неравенство 𝒂 𝒙 <𝟏 справедливо тогда и только тогда, когда 𝒙>𝟎.

Определение. Показательным уравнением называется уравнение вида 𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑔 𝑥 , где а – положительное число, отличное от 1.

Теорема. Показательное уравнение
𝒂 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒈 𝒙 , где 𝒂>𝟎 , 𝒂≠𝟏, равносильно уравнению 𝒇 𝒙 =𝒈 𝒙 .

Пример 1. Решите уравнение 1 2 7−3𝑥 =4.
Решение. Представим 1 2 как 2 −1 , а 4 как 2 2 . Тогда уравнение примет вид: 2 −7+3𝑥 = 2 2 .
По теореме данное уравнение равносильно уравнению −7+3𝑥=2 . Откуда 𝑥=3.

Пример 2. Решите неравенство 2 𝑥 2 > 1 2 2𝑥−3
Решение.
Данное неравенство можно представить в виде 2 𝑥 2 > 2 −2𝑥+3 . И так как основание больше 1, показательная функция возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству
𝑥 2 >−2𝑥+3. Решим это неравенство по правилам решения неравенств второй степени.
Ответ: −∞; −3 ∪ 1;+∞ .

Контрольные вопросы

Сформулируйте определение показательной функции, ее основные свойства.
Сформулируйте определение графика показательной функции.
Сформулируйте определение показательного уравнения.
Расскажите о свойстве показательной функции, на котором основано решение показательных неравенств.