Презентация на тему "Тригонометрические уравнения"

Тригонометрические уравнения
10 класс

Содержание
Метод замены переменной
Метод разложения на множители
Однородные тригонометрические уравнения
С помощью тригонометрических формул:
Формул сложения
Формул приведения
Формул двойного аргумента

Тригонометрические уравнения

Решение уравнения
cos t = a
t = ± arccos a + 2πk, k Z
Решение уравнения
sin t = a
ИЛИ
t = (-1)ⁿ arcsin a + πn, n Z
t = arcsin a + 2πk, k Z
t = п-arcsin a + 2πk, k Z

Решение уравнения
tg t = a
t = arctg a + πn, n Z
Решение уравнения
ctg t = a
t = arcctg a + πn, n Z

Исключения:

Наша задача:
свести любое тригонометрическое уравнение
к простейшему виду.

1. Решение простейших тригонометрических уравнений

х = (-1)n arcsin a+πn,n є z

2х = (-1)n
2х = (-1)n
х = (-1)n
Ответ: (-1)n


Пример 1
а)

х= ±arccos а + 2Пk, k є Z
б)

Это частный вид уравнения cos t=0,
t=
в)

х = (-1)n arcsin a+πn,n є z

2х = (-1)n
2х = (-1)n
х = (-1)n
Ответ: (-1)n


Пример 2

2. Метод замены переменной
С помощью замены t = sinx или t = cosx, где t ∈ [−1;1] решение исходного уравнения сводится к решению квадратного или другого алгебраического уравнения.

См. примеры 1 – 3

Пример 3
а)

Пример 3
б)

Пример 3
в)

3. Метод разложения на множители
Суть этого метода заключается в том, что произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысл:
f(x) · g(x) · h(x) · … = 0 ⟺ f(x) = 0 или g(x) = 0 или h(x) = 0
и т.д. при условии существования каждого из сомножителей

См. примеры 4 – 5

Пример 4

Пример 5

4. Однородные тригонометрические уравнения
Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
a sin x + b cos x = 0
Замечание.
Деление на cos x допустимо, поскольку решения уравнения cos x = 0 не являются решениями уравнения a sin x + b cos x = 0.
: cos x
a sin x b cos x 0
cos x
+
cos x
=
cos x
a tg x + b = 0
tg x = –
a
b

Пример 6
Пример 7

5. Однородные тригонометрические уравнения
a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0
Уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
: cos2x
a tg2x + b tg x + c = 0
a sin2x b sin x cos x c cos2x 0
cos2x
+
cos2x
=
cos2x
+
cos2x
Далее, вводим новую переменную tg x = t и решаем методом замены переменной.
Замечание. Если в данном уравнении а = 0 или с = 0 то, уравнение решается методом разложения
на множители.

Пример 8

Пример 9

Методы решения уравнений:
1. Простейшие тригонометрические уравнения
( №18.1-18.4)
2.Введение новой переменной ( №18.6-18.7)
3. Использование формул тригонометрии (18.5, 18.8)
4. Алгебраические способы:
-Вынесение множителя за скобку, группировка (18.11)
Разложение на два уравнения (18.13).
5. Однородные линейные уравнения(деление на косинус) (18.10)
6. Однородные квадратные уравнения (деление на косинус в квадрате) (18.12)

Домашнее задание
§ 18 выучить все методы,
№ 18.1-18.3 (б,г).