Тригонометрические уравнения и неравенства

Тригонометрические уравнения и неравенства Тригонометрия Попкова Т.Г. МОУ СОШ № 2 Горячий Ключ

Повторим значения синуса косинуса у π/2 90° 120° 2π/3 1 π/3 60° 135° 3π/4 π/4 45° 150° 5π/6 1/2 π/6 30° 180° π -1 0 1 0 0° x - - -1/2 ½ 2π 360 (cost) 210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6] - 225° 5π/4 - 7π/4 315° [-π/4] 240° 4π/3 -1 5π/3 300° [-π/3] 270° 3π/2 [-π/2] (sint)

Арксинус Примеры: а - а arcsin(- а)= - arcsin а Арксинусом числа а называется такое число (угол) t из [-π/2;π/2], что sin t = а. Причём, | а |≤ 1. -1 1 arcsin а =t arcsin(- а)

Арккосинус 0 π 1 -1 arccos(-а) Арккосинусом числа а называется такое число (угол) t из [0;π], что cos t = а. Причём, | а |≤ 1. arccos(- а) = π- arccos а Примеры: 1)arccos(-1) = π у х π/2 -а а arccos а = t 2)arccos

При каких значениях х имеет смысл выражение: 1.arcsin(2x+1) 2.arccos(5-2x) 3.arccos(x²-1) 4.arcsin(4x²-3x) 1) -1≤ 2х-1 ≤1 -2≤ 2х ≤0 -1≤ х ≤0 Ответ: [-1;0] 2) -1≤ 5-2х ≤1 -6≤ -2х ≤ -4 2≤ х ≤3 Ответ: [2;3] -1≤ х²-1 ≤ 1 0 ≤ х² ≤2 Ответ:

Повторим значения тангенса и котангенса Линия тангенсов tg t ЄR , но t ‡ + π k, kЄZ у π/2 2π/3 π/3 1 5π/6 π/4 π/6 ctg t ЄR, но t ‡ 0 + πk, kЄZ 0 х Линия котангенсов у 4π/3 -π/2 π 0 х

Арктангенс 0 arctgа = t Арктангенсом числа а называется такое число (угол) t из (-π/2;π/2), что tg t = а . Причём, а Є R. arctg(-а) = - arctg а -а arctg(-а ) Примеры: 1) arctg√3/3 = π/6 2) arctg(-1) = -π/4 у π/2 -π/2 х а

Арккотангенс у х 0 π arcctg а = t Арккотангенсом числа а называется такое число (угол) t из (0;π), что ctg t = а. Причём, а ЄR . arcctg(- а) = π – arcctg а - а arcctg(- а) 1) arcctg(-1) = Примеры: 3π/4 2) arcctg√3 = π/6 а

Формулы корней простых тригонометрических уравнений 1.cost = а , где |а| ≤ 1 или Частные случаи 1)cost=0 t = π/2+πk‚ kЄZ 2)cost=1 t = 0+2πk‚ kЄZ 3)cost = -1 t = π+2πk‚ kЄZ 2.sint = а, где | а |≤ 1 или Частные случаи 1)sint=0 t = 0+πk‚ kЄZ 2)sint=1 t = π/2+2πk‚ kЄZ 3)sint = - 1 t = - π/2+2πk‚ kЄZ 3. tgt = а, аЄR t = arctg а + πk‚ kЄZ 4. ctgt = а, аЄR t = arcctg а + πk‚ kЄZ

Примеры: 1) cost= - ½; 2) sint = 0; 3) tgt = 1; t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ t= ±2π/3+2πk, kЄZ Частный случай: t = 0+πk, kЄZ t = arctg1+πk, kЄZ t = π/4+πk, kЄZ. 4) ctgt = - t = arcctg( )+πk, kЄZ t = 5π/6+πk, kЄZ.

Решение простейших уравнений tg2x = -1 2x = arctg (-1) + πk, kЄZ 2x = -π/4 + πk, kЄZ x = -π/8 + πk/2, kЄZ Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ. 2) cos(x+π/3) = ½ x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ 3) sin(π – x/3) = 0 упростим по формулам приведения sin(x/3) = 0 частный случай x/3 = πk, kЄZ x = 3πk, kЄZ. Ответ: 3πk, kЄZ.

Другие тригонометрические уравнения 1.Сводимые к квадратным a∙sin²x + b∙sinx + c=0 Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогда a∙p² + b∙p + c = 0 Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения. 2.Однородные 1)Первой степени: a∙sinx + b∙cosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx. Получим: простое уравнение a∙tgx + b = 0 или tgx = m 2)Второй степени: a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0 Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение: a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.

Простые тригонометрические неравенства 1) cost > а Ответ: (-arccos а+2πk; arccos а+2πk), kЄZ 2) sint < а Ответ: (-(π+arcsin а)+2πk; arcsin а+2πk), kЄZ 3) tgt > -а Ответ: (-arctg а+πk; π/2+πk), kЄZ 4) ctgt > а Ответ: (0+πk; arcctg а+πk), kЄZ. y x а arccosа -arccosа y x а arcsin а -(π+arcsin а) -а -arctg а π/2 а 0 arcctg а