Презентация на тему "Двоичная система счислений "

Двоичная система счислений
МБОУ Катынской СШ
Учитель: Савловский Эрик Александрович.

Двоичная система счисления 
Двоичная система счисления — позиционная система исчислений с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в  цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.

Двоичная запись чисел
В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 510, в двоичной 1012. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд)[1], например 0b101 или соответственно &101.
В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 1012 произносится «один ноль один».

Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как
имеет значение:
где:
n - количество цифр (знаков) в числе,
ak - значения цифр из множества {0,1},
k - порядковый номер цифры.

Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления имеет величину:

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде.

Двоичная запись чисел
Дробное число, записываемое в двоичной системе счисления как
имеет величину:
где:
m - количество цифр дробной части числа,
ak -  значения цифр из множества {0,1}.

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел

Таблица сложения Таблица вычитания Таблица умножения

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:


Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, дано двоичное число 1100012. Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом: 1 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 49
То же самое чуть иначе: 1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

Преобразование дробных чисел
Нужно перевести число 1011010,1012 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:
1 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2−1 + 0 * 2−2 + 1 * 2−3 = 90,625
То же самое чуть иначе:
1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625
Или по таблице:






Преобразование десятичных чисел в двоичные
Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой:
19/2 = 9 с остатком 1
9/2 = 4 c остатком 1
4/2 = 2 без остатка 0
2/2 = 1 без остатка 0
1/2 = 0 с остатком 1
Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т. д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных десятичных чисел
Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:
Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.
Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.
Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
0,116 • 2 = 0,232
0,232 • 2 = 0,464
0,464 • 2 = 0,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = 0,848
и т. д.
Таким образом 0,11610 ≈ 0,00011101102
Получим: 206,11610 ≈ 11001110,00011101102

Применения

В цифровых устройствах
Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:
Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора,
В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде. Например, число −510 может быть записано как −1012 но в 32-битном компьютере будет храниться как 111111111111111111111111111110112.