Презентация по теме "Решение задач по геометрии в 7 классе"

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

1. Понятие равнобедренного трегольника, определения основания и боковых сторон.
2. Что такое биссектриса?
3. Первый признак равенства треугольников.
4. Свойство равнобедренного треугольника.
5. Понятие медианы и высоты треугольника.
6. Понятие смежного угла.

Актуализация знаний

7. Докажите, что треугольники равны.
Дано: АВС – равнобедренный,
АD – биссектриса.
Доказательство:
1) АВ=АС (по определению равнобедренного треугольника).
2) 1=2 (по определению биссектрисы).
3) AD – общая сторона  ABD=ACD.

8. Дано: АВС, ВК – медиана, АК=5 см.
Найти: АС.



Решение:
1. Т.к. ВК – медиана, то АК=КС=5 см.
2. АС=АК+КС=10 см.

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС=16 см отрезок AD – биссектриса, DAB=43. Найдите DC, BAC, ADB.




Решение:
1. Т.к. AD – биссектриса, опущенная на основание равнобедренного АВС, то она является медианой (BD=DC) и высотой (AD⊥ВС).
2. Значит, ВАС=2BAD  BAC=86.
ADB=90.
DC=BD=1/2BC=1/2*16=8 см.













Мотивация

Нарисуйте равнобедренный АВС, АС=АВ.
Проведите биссектрису AD.
1. Измерьте линейкой отрезки BD и DC.
Какой результат мы получим? BD=DC.
2. Измерьте ADB и ADC.
Какой результат мы получим? Градусные меры углов равны.
Гипотеза: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.


Наведение на факт

Теорема: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

О чем говорится в теореме?
О биссектрисе равнобедренного треугольника, проведенной к основанию

Что именно говорится в теореме?
Что она является высотой и медианой

Что нужно доказать?
Что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Для этого нужно доказать равенство треугольников, образованных после проведения биссектрисы.
Для доказательства нам необходимо:
Построить равнобедренный АВС.
Доказать равенство ABD и ACD.
Т.к. треугольники равны, то равны соответствующие их элементы  нужно убедиться в равенстве BD и DC и ADB и ADC.

Вернемся к первому требованию
Рассмотрим равнобедренный ABC, BC – основание, АВ и АС – боковые стороны, AD – биссектриса.

Вернемся ко второму требованию
Т.к. АВ=АС (по определению равнобедренного треугольника), AD – общая сторона, BAD=CAD  ABD=ACD (по первому признаку равенства треугольников).

Вернемся к третьему требованию
Т.к. ABD=ACD  равны и соответствующие элементы в этих треугольниках, т.е.
BD=DC  AD – медиана (по определению медианы).
ADC и ADB смежные (по определению смежных углов).
ADC и ADB (т.к. лежат против равных сторон АВ и АС).
Т.к. ADC=ADB и ADC и ADB – смежные  ADB=ADC=90.

Дано: АВС – равнобедренный, AD – биссектриса, ВС – основание.
Доказать: AD – медиана и высота.
Доказательство:
АВ=АС, BAD=CAD, AD – общая  ABD=ACD.
Т.к. треугольники равны  равны соответствующие их элементы  BD=DC  AD – медиана (по определению).
Т.к. треугольники равны  ADC=ADB (лежат против равных сторон АВ и АС).
ADC=ADB – смежные (по определению смежных углов).
ADC=ADB=90  AD – высота. Ч.т.д.
Краткая запись

Постепенно выполняя все требования, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является высотой и медианой.
Вывод

1. В треугольнике АВС стороны АС и АВ равны, АD – медиана, ВАС=40. Найдите DАC и АDC.
Дано: АВС, АС=АВ, AD – медиана, ВАС=40.
Найти: DAC и ADC.
Решение:
В АВС известно, что АВ=АС, значит, АВС – равнобедренный.
AD – медиана в равнобедренном АВС, проведенная к основанию, значит, AD – биссектриса. Следовательно, DAC=1/2*BAC=1/2*40=20.
AD – медиана в равнобедренном АВС, проведенная к основанию, значит, AD – высота. Следовательно, AD⊥BC. Отсюда ADC=90.

Задачи

2. Дан равнобедренный АВС, AD – биссектриса, АВ=13 см, BD=6 см. Найдите ВС и АС.
Дано: АВС, АD – биссектриса, АВ=13 см, BD=6 см.
Найти: АС и ВС.
Решение:
Т.к. АВС – равнобедренный  АВ=АС=13 см.
2) AD – биссектриса равнобедренного АВС  AD – медиана  ВС=2*BD=12 см.