Презентация по математике на тему "Дифференцированный платеж в общем виде"

Дифференцированный платеж в общем виде
Решение задачи о кредитах №15 .Учитель высшей категории. Кузнецова С.Д.

Ежемесячный платёж, при дифференцированной схеме погашения кредита, состоит из двух составляющих. Первая часть называется основным платежом, размер которого не изменяется на всём сроке кредитования. Основной платёж идет на погашения основного долга по кредиту. Вторая часть — убывающая, которая уменьшается к концу срока кредитования. Данная часть платежа идет на погашение процентов по кредиту. При дифференцированной схеме погашения кредита, ежемесячный платеж рассчитывается как сумма основного платежа и проценты, начисляемые на оставшийся размер долга.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАННАЯ СХЕМА ПОГАШЕНИЯ КРЕДИТА 

Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S0, причем каждый платежный период долг сначала возрастет на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты p и полная величина выплат за все время выплаты кредита даются формулами :
p = 𝐫 𝟏𝟎𝟎 * 𝐧+𝟏 𝟐 *S0 ;
В = S0 + p = S0( 1 + 𝐫(𝐧+𝟏) 𝟐𝟎𝟎 )

Решение задач с использованием дифференцированной схемы
Задача №1
15-го января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга
-15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весть срок кредитования?

Вводим переменные: n=18 мес., r = 2%, S–сумма, взятая в кредит.

Задача №1
Найдем общую сумму выплат процентов за 18 месяцев.(переплату)
P=S*0,02 + 𝟏𝟕 𝟏𝟖 𝐒∗0,02+ 𝟏𝟔 𝟏𝟖 S*0,02 + 𝟏𝟓 𝟏𝟖 S*0,02 ... 𝟐 𝟏𝟖 0,02 + 𝟏 𝟏𝟖 S*0,02 = 𝟏 𝟏𝟖 S *0,02(18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)= S*0,002( 𝟏𝟕𝟏 𝟏𝟖 )= S* 0,19
Выплаты основного долга по кредиту:
𝟏 𝟏𝟖 S + 𝟏 𝟏𝟖 S +... + 𝟏 𝟏𝟖 S+ 𝟏 𝟏𝟖 S = 18( 𝟏 𝟏𝟖 S) = S
Все выплаты; S+ S* 0,19= S*1,19 = 119%
Ответ: 119%

Задача №2
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга
-15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Задача №2
Найдем общую сумму выплат за 19 месяцев.
S*r*0,01+ 𝟏 𝟏𝟗 S+ 𝟏𝟖 𝟏𝟗 S*r*0,01+ 𝟏 𝟏𝟗 S+ 𝟏𝟕 𝟏𝟗 S*r*0,01+ 𝟏 𝟏𝟗 S+ 𝟏𝟔 𝟏𝟗 S*r*0,01+ 𝟏 𝟏𝟗 S ... 𝟐 𝟏𝟗 S*r*0,01+ 𝟏 𝟏𝟗 S+ 𝟏 𝟏𝟗 S*r*0,01+ 𝟏 𝟏𝟗 S= 𝑺 𝟏𝟗 𝒓∗𝟎,𝟎𝟏(19+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)+19( 𝟏 𝟏𝟗 S) = 𝑺 𝟏𝟗 𝒓∗𝟎,𝟎𝟏*190+S = S(1+r*0,1), S(1+r*0,1)= S(1,3)
Подставим данные r = 3%
Ответ: 3%

Задача №2

Обобщая вышеприведенные рассуждения на случай n платежных периодов (дней, месяцев, лет) получим общие формулы, связывающие сумму кредита S0, , и r% - процентную ставку за период:
p = 𝒓 𝟏𝟎𝟎 * 𝒏+𝟏 𝟐 S0 =S0 * 𝒓(𝒏+𝟏) 𝟐𝟎𝟎 30% = 𝒓 𝟏𝟎𝟎 * 𝟏𝟗+𝟏 𝟐
30=r * 10
r = 3%
Ответ: r=3%.
В = S0 + p = S0( 1 + 𝒓(𝒏+𝟏) 𝟐𝟎𝟎 )
(второй способ)

Задача №3
1 июля не високосного года Екатерина взяла в банке кредит на сумму 109500 рублей под 24% годовых сроком на 6 месяцев на условиях погашения кредита дифференцированными платежами. Это означает, что до 1 числа каждого следующего за июлем месяца она вносит в банк платёж, состоящий из 1\ 6 части долга (т.е. 18250 рублей) и процентов, которые начисляются с учётом числа дней соответствующего месяца: 30 или 31 (всего 6 платежей). Найдите сумму всех выплат по кредиту

Задача №3
109500*0.24* 𝟑𝟏 𝟑𝟔𝟓 = 2232
91250*0.24* 𝟑𝟏 𝟑𝟔𝟓 =𝟏𝟖𝟔𝟎
73000*0.24* 𝟑𝟎 𝟑𝟔𝟓 =𝟏𝟒𝟒𝟎
54750*0.24* 𝟑𝟏 𝟑𝟔𝟓 =𝟏𝟎𝟏𝟔
36500*0.24* 𝟑𝟎 𝟑𝟔𝟓 =𝟕𝟐𝟎
18250*0.24* 𝟑𝟏 𝟑𝟔𝟓 =𝟑𝟕𝟐

Общая сумма выплат =109500+7740=117240р
Всего выплат по процентам - 7740

Задача №4
. В июле планируется взять кредит на сумму 20 млн. рублей на некоторый срок ( целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн. рублей?

Задача №4
Ука­жем общие фор­му­лы для ре­ше­ния задачи. Пусть на n пла­теж­ных пе­ри­о­дов (дней, ме­ся­цев, лет) в кре­дит взята сумма S, причём каж­дый пла­теж­ный пе­ри­од долг сна­ча­ла воз­растёт на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да, а затем вно­сит­ся опла­та так, что долг ста­но­вит­ся на одну и ту же сумму мень­ше долга на конец преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да. Тогда ве­ли­чи­на пе­ре­пла­ты p и пол­ная ве­ли­чи­на вы­плат В за всё время вы­пла­ты кре­ди­та да­ют­ся фор­му­ла­ми 𝒑= 𝒓 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝒏+𝟏 𝟐 ∙𝑺
В=𝑺+𝒑=𝑺∙(𝟏+ 𝒓(𝒏+𝟏) 𝟐𝟎𝟎 )
𝑩=𝟒𝟕; 𝑺=𝟐𝟎; 𝒓=𝟑𝟎; 𝒏−?, тогда получаем 𝟒𝟕=𝟐𝟎∙( 𝟏+ 𝟑𝟎( 𝒏+𝟏) 𝟐𝟎𝟎 )
𝟒𝟕=𝟐𝟎+𝟑(𝒏+𝟏)
𝟑𝒏=𝟐𝟒
𝒏=𝟖
Ответ: 8 лет.

Задача №5
15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 - е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит. Найти r.

Задача №5
Ука­жем общие фор­му­лы для ре­ше­ния данной задачи. Пусть на n пла­теж­ных пе­ри­о­дов (дней, ме­ся­цев, лет) в кре­дит взята сумма S, причём каж­дый пла­теж­ный пе­ри­од долг сна­ча­ла воз­растёт на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да, а затем вно­сит­ся опла­та так, что долг ста­но­вит­ся на одну и ту же сумму мень­ше долга на конец преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да. Тогда ве­ли­чи­на пе­ре­пла­ты 𝒑 и пол­ная ве­ли­чи­на вы­плат В за всё время вы­пла­ты кре­ди­та да­ют­ся фор­му­ла­ми 𝒑 = 𝒓 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝒏+𝟏 𝟐 ∙𝑺
В=𝑺+𝒑=𝑺∙(𝟏+ 𝒓(𝒏+𝟏) 𝟐𝟎𝟎 )
По условию задачи 𝒏=𝟑𝟗, тогда 𝒓∙(𝟑𝟗+𝟏) 𝟐𝟎𝟎 ∙𝑺=𝟎,𝟐𝑺; 𝒓 𝟓 =𝟎,𝟐; 𝒓=𝟏.
Ответ: 1 %

Задача 6
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн. рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:
Каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; C февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. Сколько млн. рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?

Найдем сумму всех выплат: 𝟐∗𝟓+𝟑𝟎∗𝟎,𝟏=𝟏𝟎+𝟑=𝟏𝟑. Ответ: 13 млн. рублей