Презентация по математике на тему "Логарифмическая функция"(1 курс)

Понятие логарифма. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Свойства логарифмов.
Разработала: Л. Н. Ткаченко
преподаватель математики
ГБПОУ ВО «ВПТ»
Для курса специальности 23.02.07

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b.
Обозначается: 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃.





-  
;

Cвойства логарифмов
1. 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝟏=𝟎;
2. 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒂=𝟏 ;
3. 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙+ 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒚= 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙𝒚 ;
4. 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙− 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒚= 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝒚 ;
5. 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝒑 =𝒑 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙;
6. 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒌 𝒙= 𝟏 𝒌 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙;
7. 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒌 𝒙 𝒎 = 𝒎 𝒌 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙

Примеры:

1. 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟏=𝟎, 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟒 𝟏=𝟎, 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟐𝟒 𝟏=𝟎 .
2. 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟐=𝟏, 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟓 𝟏𝟓=𝟏, 𝒍𝒐𝒈 𝟐𝟕𝟔 𝟐𝟕𝟔=𝟏
3. 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟑+ 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟓= 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟏𝟓,
𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟐+ 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟑= 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟔=𝟏.
4. 𝒍𝒐𝒈 𝟖 𝟒𝟓− 𝒍𝒐𝒈 𝟖 𝟑= 𝒍𝒐𝒈 𝟖 𝟒𝟓 𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝟒𝟓 𝟏𝟓 .
5. 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟑 𝟓 =𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟑,
𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟏𝟔= 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟐 𝟒 =𝟒 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟐=𝟒.

Примеры:
6. 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟓 𝟏𝟐= 𝟏 𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟏𝟐,
𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟐𝟓 𝟓= 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟑 𝟓= 𝟏 𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟓= 𝟏 𝟑 .
7. 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟕 𝟑 𝟒 = 𝟒 𝟕 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟑, 𝒍𝒐𝒈 𝟖 𝟑𝟐= 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟑 𝟐 𝟓 = 𝟓 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟐= 𝟓 𝟐 =𝟐,𝟓.

№ 1. Найдите значения логарифмов:
а) 𝑙𝑔8+𝑙𝑔18 2𝑙𝑔2+𝑙𝑔3 ;
б) 𝑙𝑜𝑔 3 16 𝑙𝑜𝑔 3 4 ;
в) 3𝑙𝑔2+3𝑙𝑔5 𝑙𝑔13−𝑙𝑔130 ;
г) 2 𝑙𝑜𝑔 12 2+ 𝑙𝑜𝑔 12 3 2 𝑙𝑜𝑔 12 6− 𝑙𝑜𝑔 12 3 .

Проверь себя:
а) 2;
б) 2;
в) -3;
г) 2.

Основное логарифмическое тождество:
𝒂 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 =𝒃
Пример 2. Вычислить: 4 2 𝑙𝑜𝑔 2 3− 𝑙𝑜𝑔 2 6+1 .
Решение.
Упростим показатель степени:
2 𝑙𝑜𝑔 2 3− 𝑙𝑜𝑔 2 6+1 = 𝑙𝑜𝑔 2 9− 𝑙𝑜𝑔 2 6+1= 𝑙𝑜𝑔 2 9 6 +1= 𝑙𝑜𝑔 2 3 2 +1= 𝑙𝑜𝑔 2 3− 𝑙𝑜𝑔 2 2+1= 𝑙𝑜𝑔 2 3−1+1= 𝑙𝑜𝑔 2 3.
Тогда 4 2 𝑙𝑜𝑔 2 3− 𝑙𝑜𝑔 2 6+1 = 4 𝑙𝑜𝑔 2 3 = 2 2 𝑙𝑜𝑔 2 3 = 2 𝑙𝑜𝑔 2 9 =9.

№ 2. Вычислить:
а) 3 𝑙𝑜𝑔 3 8 ;
б) 2 𝑙𝑜𝑔 2 9+3 ;
в) 8 2 𝑙𝑜𝑔 8 3 .

Понятие логарифмической функции.
Функцию вида, 𝒚= 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙, где 𝒂≠𝟏, 𝒂>𝟎, 𝒙>𝟎 называют логарифмической функцией.

Свойства логарифмической функции.
𝐷 𝑦 = 0; +∞ .
2. 𝐸 𝑦 = −∞;+∞ .
3. Точки пересечения с осями координат:
с осью абсцисс (1; 0),
С осью ординат точек пересечения нет.
4. Функция возрастает при 𝑎>1 , убывает при 0<𝑎<1 на всей области определения.
5. Функция не является четной или нечетной.

Свойства графика логарифмической функции.
Графики логарифмической функции проходит через точку с координатами (1; 0).
2. График логарифмической функции лежит в правой координатной полуплоскости.
3. Имеет выпуклость вверх при 𝑎>1, имеет выпуклость вниз при 0<𝑎<1.

Контрольные вопросы

Сформулируйте определение логарифма.
Формулы сокращенного умножения.
Сформулируйте основное логарифмическое тождество.
Сформулируйте свойства логарифмов.