Замечательные кривые второго порядка.

Замечательные кривые второго порядка
Проект подготовила: ученица 10 класса Кучкарова Фарида
Руководитель: Камбур Любовь Алексеевна

Актуальность:
В школьном курсе математики изучаются совсем немного кривых, имеющих необычный график. Особый интерес представляют так называемые замечательные кривые, имеющие специфические особенности. Замечательные кривые  часто встречаются в жизни, но не замечаются человеком, поэтому я решила рассмотреть эту тему.

Значимость:
Курс геометрии содержит разнообразный материал, однако одним из ее центральных разделов является теория кривых второго порядка. Решение задач, связанных с кривыми второго порядка, иногда вызывают большие затруднения.
Некоторые понятия кривых второго порядка встречаются в физике.

Цель:
Изучить некоторые виды кривых второго порядка и их элементы.
Найти, где используются их свойства.

Задачи:
Изучить виды кривых второго порядка
Научиться строить стандартные кривые второго порядка: эллипсоид, параболоид и гиперболоид; находить их основные элементы;
Рассмотреть практическое применение параболоидов, гиперболоидов, эллипсоидов в архитектуре, технике, астрономии.
Создать презентацию и публично защитить проект

Объект изучения:
Кривые второго порядка.

Продукт:
Собрать общую информацию по кривым второго порядка в справочник

Кривой второго порядка называется линия , уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид :
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,  
где коэффициенты действительные числа и хотя бы одно из чисел А, В или С отлично от нуля.
К кривым второго порядка относятся линии:  эллипс, гипербола, парабола.
Определение:

Гиперболоид

Гипербола
Гиперболой называется кривая, заданная
уравнением
где у, х- переменные

Гиперболоид
Гиперболо́ид — незамкнутая центральная
поверхность второго порядка в трёхмерном
пространстве, задаваемая в декартовых
координатах уравнением.

При вращении гиперболы вокруг оси ОУ получается поверхность, называемая гиперболоидом вращения.
Существует 2 вида гиперболоидов вращения:
однополостной
двуполостной

Рассмотрим его график в прямоугольной системе
координат и основные элементы.

Сиднейская телебашня
Эйфелева башня
Гиперболоид вращения в архитектуре
Шуховская башня

Свойство однополостного гиперболоида использовал инженер В.Г.Шухов(1853-1939) при строительстве радиостанции в Москве. Он построил башню, состоящую из нескольких поставленных друг на друга однополостных гиперболоидов причём каждая часть была сделана из двух семейств прямолинейных балок, соединённых в точках пересечения. Эта башня потом использовалась для передачи телепрограмм. Она находится на улице Шабаловка в Москве.
Шухов В.Г.

Шуховская башня

Гиперболические зеркала имеют форму двуполостных гиперболоидов, полученных при вращении гиперболы вокруг её действительной оси. В романе А.Толстого «Гиперболоид инженера Гарина» использовался именно такой гиперболоид.
Имевший высшее образование Толстой, конечно, знал, что аппарат следует назвать параболоидом. Но по-видимому, из чисто психологических соображений он пошёл на «обман». Ведь приставка «гипер» сообщает название нечто сверхъестественное.

«Гиперболоид инженера Гарина»

Параболоид

Парабола
Кривая заданная уравнением У=ах²,называется параболой.

При вращении параболы относительно осей
получается поверхность, которая называется
параболоидом вращения.

Рассмотрим его график в прямоугольной системе
координат и основные элементы.

«Зажигательное зеркало»
Арабы называли параболоидом «зажигательным зеркалом», а точку в которой собираются солнечные лучи- «местом зажигания»
Кеплер в «оптической астрономии»(1604) перевел этот термин словом « фокус»( от латинского «огонь»)

Применение параболических зеркал




Параболические зеркала имеют форму параболоида вращения- являются источником экологически чистой энергии, их используют в солнечных батареях, солнечных электростанциях, в автомобильный фарах и прожекторах, радиолокаторах и вообще во всех случаях, когда надо собрать в одну точку все параллельные лучи либо, наоборот, направить параллельные лучи выходящие из одной точки.

Радиостанции

Открытие Роберта Вуда
Американский учёный Роберт Вуд получил параболическое зеркало, вращая сосуд с ртутью. Зеркало получилось отличным! На принципе ртутного зеркала основано устройство специального телескопа для наблюдения звёзд и планет, находящихся в зените

Сожжение Архимедом вражеских кораблей при помощи системы зеркал

Установил это Архимед, который, по легенде, рассказанной Плутархом, с помощью системы вращающихся зеркал поджёг флот римлян, обороняя свой город Сиракуз.

Купола многих зданий имеют форму параболоида.

Эллипсоид

Эллипс
Эллипсом называется кривая на плоскости, задаваемая уравнением.

Эллипс рассчитывается по формуле:

Эллипсоид
Эллипсоидом называется поверхность ,
которая в некоторой системе декартовых
прямоугольных координат определяется
уравнением:

При вращении эллипса вокруг одной из его осей получается поверхность , которая называется эллипсоидом вращения

Рассмотрим его график в прямоугольной системе
координат и основные элементы.

Галактические эллипсоиды
Странно, но даже в галактике существуют
эллипсоиды, называемые галактическими.

Форма планет
Поверхность Солнца, Земли и других звезд и
планет под действием центробежной силы
принимает форму сплюснутого эллипсоида
вращения.

Точка зрения Кассини
Французике астрономы отец и сын Кассини, которые пользовались неточными
измерениями считали, что Земля- вытянутый эллипсоид.

Точка зрения И.Ю.Ньютона
Ньютон, опиравшийся на физические
законы, считал что Земля- сплюснутый
эллипсоид

Геоид
Результаты, подтвердили правоту Ньютона, хотя более
точные измерения показывают, что Земля имеет более
сложную форму, названную геоидом. Сплюснутый
эллипсоид вращения лишь его приближение.

Здание яйцо Индия Мумбаи
Ванкувер Канада

Заключение:
В процессе работ над проектом я узнала много нового интересного, связанного с обычными графиками функций. Кривые II порядка, безусловно, очень интересная тема, несмотря на то, что она не пригождается в обычной жизни, а в трудовой нужна только тем, кто решает связать свою жизнь с математикой, математическим моделированием или инженерией. Хотя я не собираюсь становиться математиком или инженером, мне всё же придётся столкнуться с этой темой в университете.