Презентация по дисциплине ЕН.01 на тему "Кривые второго порядка"

Тема «Кривые второго порядка»
Подготовила Фесенко Ольга Васильевна,
преподаватель математики НИТ
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Новоазовский индустриальный техникум»

R
O
B
A
M
Кривые второго порядка делятся на
1) вырожденные и
2) невырожденные
Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени.
Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка).
Невырожденными кривыми второго порядка являются эллипс, окружность, гипербола и парабола.

1. Эллипс и окружность
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a>|F1F2|).
Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.
Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.
В такой системе координат:
F1(–c;0) и F2(c;0) ,
где |OF1| = |OF2| = c.

ЭЛЛИПС
Для того чтобы нарисовать эллипс, потребуются нить и кнопки. Прикрепим концы нити к фокусам. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге эллипс.

Построение графика эллипса
Пусть, например, на эллипсе взяты точки M1, M2, M3, M4 и т.д.
Если фокусы обозначить через F и F1, то согласно данному определению можно написать:
F1M1 + FM1 = F1M2 + FM2 = F1M3 + FM3 = F1M4 + FM4 = const. (1)
Геометрическое место точек, обладающих вышеуказанным свойством (1), и есть эллипс.

Уравнение эллипса


Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Система координат, в которой эллипс имеет такое уравнение, называется его канонической системой координат.


Построим эллипс.

СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА
1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x=a, y=b.
2) Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy).
Центр симметрии эллипса называют центром эллипса. Ось симметрии эллипса, проходящую через фокусы
(ось Ox) называют большой (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – малой осью.
3) Из уравнения эллипса получаем:

Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса.

Отрезок A1A2 и его длина 2a называются
большой (фокальной) осью,
отрезок B1B2 и его длина 2b – малой осью.

Величины a и b называются большой и малой полуосью соответственно.

Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием.
Если M – произвольная точка эллипса, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M

Удивительное свойство фокусов:
Если зеркало выполнить в форме эллипса и в одном из фокусов поместить источник света, то при вспышке, во втором из фокусов появится свет
Оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с фокусами, пересекают касательную к эллипсу в точке под разными углами. А это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отражения попадает в другой.
Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико

2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид
Для этого эллипса большая ось – ось Oy,
малая ось – ось Ox,
фокусы имеют координаты
F1(0;–c) и F2(0;c) ,
где
Фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам

Точки пересечения эллипса с осями
Найдём точки пересечения эллипса с осью Ох.
Пусть у=0;
тогда имеем:


.
Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (-а; 0) (точки А и А1)

ОКРУЖНОСТЬ
Окружность является частным случаем эллипса при




Эксцентриситет окружности равен нулю. Чем ближе значение
эксцентриситета эллипса к нулю, тем больше форма эллипса
приближается к форме окружности.


Окружность, центром которой является точка ,
определяется уравнением

Исследование формы эллипса по его уравнению

Пример 1

Пример 2

Пример 3

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
1) Выясним, какую линию на плоскости описывает уравнение
3x2 + 5y2 = 15 .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
2) Выяснить, какую линию на плоскости описывает уравнение
100x2 + 25y2 +200х – 100у -200 = 0 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
3) Выяснить, какую линию на плоскости описывает уравнение x = -2√5- 6у -y2