Презентация Прямоугольный треугольник на огэ и егэ

Методика обучения учащихся решению прямоугольного треугольника.
МБОУ «Космодемьянская СОШ»

Выполнила учитель математики
Гордеева М.Э.

Какие свойства прямоугольного треугольника известны?
В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность. Точкой касания гипотенуза делится на отрезки m и n. Найдите площадь треугольника.
Не знаете свойство – не расскажите о нем учащимся, не умеете решать задачи – ваши ученики не будут решать задачи, не любите геометрию – ваши ученики не будут любить геометрию.
Вывод: совершенствовать навыки решения задач и методику обучения их решению.

Вписанная окружность – прием «шагаем по периметру»
Вопросы:
– Где лежит центр окружности, вписанной в треугольник?
– Почему биссектрисы двух углов пересекаются?
– Определите вид четырехугольника СЕОD?
– Определите вид треугольника АВС, если радиус ОF лежит на биссектрисе СО? А если радиус ОЕ лежит на биссектрисе АО?
В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность. Найдите радиус окружности, если известны все стороны треугольника.

Вписанная окружность – прием «шагаем по периметру»
Вопросы:
– Выразим все отрезки, на которые стороны треугольника разбиваются точками касания, через данные и радиус окружности. Чему равен отрезок ВЕ? АD?
– В чем суть приема «шагаем по периметру»? Когда он применяется? Что является теоретической основой приема?

Вписанная окружность – прием «шагаем по периметру»
В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность. Точкой касания гипотенуза делится на отрезки 3 и 2. Найдите радиус окружности.

Вписанная окружность – прием «шагаем по периметру»

Теорема Пифагора – «пифагоровы» тройки
Через решение задач открываем «пифагоровы» тройки!

Теорема Пифагора – «пифагоровы» тройки
Учим «пифагоровы» тройки при решении задач на готовых чертежах

Теорема Пифагора – «пифагоровы» тройки
В треугольнике АВС угол С равен 90° АВ = 182, АС = 70. Найдите ВС.
Показать образец рассуждения при использовании «пифагоровых» троек
коэффициент пропорциональности

Теорема Пифагора – «пифагоровы» тройки
Проговаривать, как находим неизвестную сторону, используя «пифагоровы» тройки

Теорема Пифагора – «пифагоровы» тройки

Теорема Пифагора – «пифагоровы» тройки

Теорема Пифагора – «пифагоровы» тройки

Теорема Пифагора – «пифагоровы» тройки

«Замечательные прямоугольные треугольники»
Равносторонний треугольник
Равнобедренный с углом 120°
Больший катет в 3 больше меньшего.
Меньший катет в 3 меньше большего.
Гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета.
Больший катет равен 6. Меньший катет в 3 меньше большего. То есть , 6 3 = 2∙3 3 =2 3 .
Гипотенуза равна 4 3 .

«Замечательные прямоугольные треугольники»
Решать такие задачи устно!
Находить все неизвестные элементы!

Равносторонний треугольник
Отработать равносторонний треугольник в теме «Теорема Пифагора». В теме «Правильные многоугольники» закрепите изученное.
Зависимость между R и r открыть вместе с учащимися через прямоугольный треугольник с углами 30° и 60°.
r это 1 3 от h
r это 1 2 от R

«Замечательные прямоугольные треугольники»
Использовать систему задач
Катет в 2 меньше гипотенузы.
Гипотенуза в 2 больше катета.
Гипотенуза равна 6. Катет в 2 меньше. То есть , 6 2 = 2∙3 2 =3 2 .

Свойство медианы, проведенной к гипотенузе
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.
Обратное утверждение: если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
Переформулируем: в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузу, делит треугольник на два равнобедренных.
Переформулируем: в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузу, равна радиусу описанной окружности.
В треугольнике АВС угол С равен 90°, угол В равен 58°, CD – медиана. Найдите угол ACD.

Свойство медианы, проведенной к гипотенузе
Использовать систему задач

Пропорциональные отрезки
в прямоугольном треугольнике
Сколько линейных элементов в прямоугольном треугольнике надо знать, чтобы найти остальные? (Два.)
Какие? (Организовать перебор вариантов, например, с помощью таблицы.)
Очертить ближайший круг задач, которые решаются с помощью открытых формул.

Отношения сторон в прямоугольном треугольнике
Сколько сторон в прямоугольном треугольнике?
Сколько различных отношений сторон можно составить?
Рассмотрим различные прямоугольные треугольники с равным острым углом.
Нельзя начинать с определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника!

Отношения сторон в прямоугольном треугольнике
Обосновать потребность в названии отношений.

Отношения сторон в прямоугольном треугольнике
Назвать отношения, поговорить, почему в названиях фигурирует угол.
Дать определения отношений сторон прямоугольного треугольника.

Отношения сторон в прямоугольном треугольнике
Первый урок темы решать задачи на отношение сторон прямоугольного треугольника (и больше ничего).
Что значит синус (косинус) угла А прямоугольного треугольника равен 1 3 ? 2 5 ?

Задачи на отношение сторон прямоугольного треугольника

Задачи на отношение сторон прямоугольного треугольника

Найдите ВС.
Так как , то , ,

.

Но , следовательно, , .

Следовательно, .
Выводы после решения задач на отношение сторон прямоугольного треугольника
Зная одно из отношений сторон прямоугольного треугольника и какую-либо сторону этого треугольника, можно найти все остальные стороны.

Выводы после решения задач на отношение сторон прямоугольного треугольника
Зная одно из отношений, можно найти все остальные отношения – показать, используя «пифагоровы тройки»!
sin 30° = cos 60°
sin 10° = cos 80°
cos 54° = sin 26°
Почему?
Если углы в сумме дают 90°, то синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.

Отношения сторон в прямоугольном треугольнике
Задачи ЕГЭ на прямоугольный треугольник надо решать в 8 классе!

Отношения сторон в прямоугольном треугольнике
Задачи ЕГЭ на прямоугольный треугольник надо решать в 8 классе!

Отношения сторон в прямоугольном треугольнике
Задачи ЕГЭ на прямоугольный треугольник надо решать в 8 классе!

Отношения сторон в прямоугольном треугольнике

Отношения сторон в прямоугольном треугольнике
Зная угол, знаем любое из отношений сторон прямоугольного треугольника (таблица Брадиса).
Зная отношения сторон прямоугольного треугольника и какую-либо сторону этого треугольника, можно найти все остальные стороны.
Существуют три различные задачи данного типа – угол и гипотенуза, угол и прилежащий катет, угол и противолежащий катет.

Прямоугольный треугольник в ОГЭ
1) АО – биссектриса треугольника АВН, следовательно, АВ АН = ВО ОН = 41 40 .
2) Треугольник АВН прямоугольный: АВ = 41t, АН = 40t, BH = 9t. 𝑠𝑖𝑛∠𝐴= 9 41 .
3) 𝐵𝐶 𝑠𝑖𝑛∠𝐴 =2𝑅, 18∙41 9 =2𝑅, R = 41.

Чертеж «рабочий», все условия отмечены на нем.
Анализ условия: каким свойством обладает биссектриса треугольника? «пифагорова тройка» – 41t, 40t и 9t.

Прямоугольный треугольник в ОГЭ
1)

2) ,

3)

4) ,
Чертеж «рабочий», все условия отмечены на нем.
Анализ условия: что можно найти, зная гипотенузы? что можно найти, зная гипотенузу и площадь? каким свойством обладает медиана, проведенная к гипотенузе? зная две стороны прямоугольного треугольника, что можно найти?

Прямоугольный треугольник в ОГЭ
1) PL – медиана треугольника ВРС, следовательно, PL = а 2 .

2) PK – медиана треугольника APD, следовательно, PК = 𝑏 2 .
3) 𝑏 2 − 𝑎 2 =3 и 𝑏 2 + 𝑎 2 =19, 𝑏=22, 𝑎=16.

Прямоугольный треугольник в ЕГЭ

Прямоугольный треугольник в ЕГЭ

Для получения сертификата участника
Спасибо за внимание!