Презентация по алгебре на тему "Преобразование графиков функций"

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ x
f(x)→-f(x)
График функции y=-f(x) получается преобразованием симметрии графика функции y=f(x)относительно оси x.
Замечание. Точки пересечения графика с осью x остаются неизменными.

x

𝒚

𝒚=𝒇(𝒙)


𝒚=−𝒇(𝒙)

x

𝒚

𝐲= 𝐱
𝐲=− 𝐱
x

𝒚

0
𝐲=2x+3
𝐲=-(2x-3)
x

𝒚

𝐲= −𝐱 𝟐
𝒚= 𝐱 𝟐

 
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ y
f(x)→f(-x)

График функции y=f(-x) получается преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно оси y.
Замечание. Точка пересечения графика с осью y остаётся неизменной.


x

𝒚

𝒚=𝒇(𝒙)


𝒚=𝒇(−𝒙)

x

𝒚

𝒚= 𝐱 𝟐 = (−𝐱) 𝟐
x

𝒚

1,5

0
-1,5

𝐲=2x+3
𝐲=2(-x)+3=-2x+3

Замечание 1. График чётной функции не изменяется при отражении относительно оси y, поскольку для чётной функции f(-x)= f(x).Пример:.
Замечание 2. График нечётной функции изменяется одинаково как при отражении относительно оси x, так и при отражении относительно оси y, поскольку для нечётной функции f(-x)= -f(x). Пример:sin(-x)=-sinx.
x

𝒚



0
𝐲= 𝐱
𝐲= −𝐱

Параллельный перенос вдоль оси x
f(x) –f(x-a)
График функции y=f(x-a) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси х на вправо при a>0 и влево при a<0.
Замечание. График периодической функции с периодом Т не изменяется при параллельных переносах вдоль оси х на nТ, n Z.


𝒚=𝒇(𝒙)


𝐚

x

𝒚

𝒚=𝒇(𝒙−𝒂)

x

𝒚

0
𝐲=𝟐𝐱
𝐲=2(x+5)
𝐲=𝟐(𝒙−𝟑)
3
-5
x

𝒚

2

0
-3

𝐲= (𝐱+𝟑) 𝟐
𝐲= (𝐱−𝟐) 𝟐
𝒚= 𝐱 𝟐
x

𝒚

2

0
-3

𝐲= 𝐱+𝟑
𝐲= 𝐱
𝐲= 𝐱−𝟐

Параллельный перенос вдоль оси y
f(x)-f(x)+b
График функции f(x)+b получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси y на вверх при b>0 и вниз при b<0.

𝐛

x

𝒚

𝒚=𝒇 𝒙 +𝒃
𝒚=𝒇(𝒙)

x

𝒚

0
𝐲=𝟐𝐱
𝐲=𝟐𝒙−𝟑
-3
5
x

𝒚

1

0
-1,5

𝐲= 𝐱 𝟐 +𝟏
𝐲= 𝐱 𝟐 −𝟏,𝟓
𝒚= 𝐱 𝟐
x

𝒚

1

0
-2

𝒚= 𝒙 +1
𝐲= 𝐱
𝒚= 𝒙 -2
𝐲=𝟐𝒙+𝟓

СЖАТИЕ И РАСТЯЖЕНИЕ ВДОЛЬ ОСИ x
f(x)→f(αx), где α>0
α>1
График функции y=f(αx) получается сжатием графика функции y= f(x) вдоль оси x в α раз.
0<α<1
График функции y= f(αx) получается растяжением графика функции y= f(x) вдоль оси x в 1/α раз.
Замечание. Точки пересечения графика с осью yостаются неизменными.

x

𝒚

𝒚=𝒇(𝒙)
𝒚=𝒇(𝒂𝒙)
x

𝒚

𝒚=𝒇(𝒙)
𝒚=𝒇(𝒂𝒙)

x

𝒚

0
𝐲=2x+3
𝐲=𝟐 𝟏 𝟐 𝒙 +𝟑
x

𝒚

𝒚=( 𝟐𝐱) 𝟐
0

𝒚= 𝐱 𝟐
𝐲= 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐
x

𝒚

0
𝐲= 𝐱
𝐲= 𝐱/𝟐
𝐲= 𝟐𝒙
1 2

1
2
1
𝐲=𝟔𝐱+3

СЖАТИЕ И РАСТЯЖЕНИЕ ВДОЛЬ ОСИ y
f(x)→kf(x), где k>0
k>1
График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 
0<k<1
График функции y= kf(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси y в 1/k раз.
Замечание. Точки пересечения графика с осью x остаются неизменными.

x

𝒚

𝐲=𝐤𝐟(𝐱)
𝐲=𝐟(𝐱)
x

𝒚

𝐲=𝐤𝐟(𝐱)
𝐲=𝐟(𝐱)

x

𝒚

𝒚= 𝟐𝐱 𝟐
1

0

2

1

𝒚= 𝐱 𝟐
𝒚= 1 3 𝐱 𝟐
x

𝒚

0
𝐲= 𝐱
𝐲= 𝟏 𝟐 𝐱
𝐲=𝟐 𝒙
x

𝒚

0
𝐲=𝐱
𝐲=5x
𝐲= 𝟏 𝟓 𝒙

Построение графика функции
y= 𝐟(𝐱)

Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси x и на оси x , остаются без изменения, а лежащие ниже оси x – симметрично отражаются относительно этой оси (вверх).
Замечание. Функция y= 𝐟(𝐱) неотрицательна (ее график расположен в верхней полуплоскости).

x

𝒚

0
𝐲= 𝟐𝒙+𝟑
𝐲=2x+3

x

𝒚

𝐲= 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟑
1

3

x

𝒚



0
𝐲= 𝐱

Построение графика функции y=f( 𝒙 )

Часть графика функции y=f(x), лежащая левее оси y, удаляется, а часть, лежащая правее оси y– остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно y (влево). Точка графика, лежащая на оси y, остается неизменной.
Замечание. Функция y=f( 𝒙 ) четная (ее график симметричен относительно оси y).

x

𝒚

0
𝐲=𝟐 𝒙 +𝟑

x

𝒚

𝐲= 𝒙 𝟐 −𝟒 𝒙 +𝟑
-3

-1

0

1

3

x

𝒚



0
𝐲= 𝒙

Построение графика обратной функции

График функции y=g(x), обратной для функцииy=f(x), можно получить преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно прямой y=x.
Замечание. Описанное построение можно производить только для функции, имеющей обратную.

x

𝒚

𝒚=𝒈(𝒙)


𝒚=𝒇(𝒙)


𝒚=𝒙

x

𝒚

0
𝐲=2x+3
𝐲= 𝒙−𝟑 𝟐
x

𝒚



0
𝐲= 𝐱
𝐲= 𝒙 𝟐