Презентация на тему "Параллельность в пространстве"

Параллельность в пространстве

Каким может быть взаимное расположение прямых на плоскости?
Пересекаются (перпендикулярны).
Параллельны.
Совпадают.

Параллельные прямые в пространстве
Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Параллельность прямых a и b обозначается так: На рисунке 1 прямые a и b параллельны, а прямые a и с, a и d не параллельны.

Теорема: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Параллельность трёх прямых
Рассмотрим лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, необходимую для дальнейших рассуждений.
Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость (рис. 2).

Теорема: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Параллельность прямой и плоскости
Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то согласно аксиоме А15, вся прямая лежит в этой плоскости. Из этого следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
а) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются;
в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают натянутые троллейбусные или трамвайные провода – они параллельны плоскости земли. Другой пример дает линия пересечения стены и потолка – эта линия параллельна плоскости пола.

Теорема: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Доказать данную теорему самостоятельно!
Рассмотрим еще два утверждения, которые часто используются при решении задач:
1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой (рис. 3).

2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Скрещивающиеся прямые
Если две прямые пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости. Однако в пространстве две прямые могут быть расположены так, что они не лежат в одной плоскости, т.е. не существует такой плоскости, которая проходит через обе эти прямые. Очевидно, что такие прямые не пересекаются и не параллельны.
Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости (рис. 4).
Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая – под эстакадой (рис. 5). Приведите еще примеры скрещивающихся прямых из жизни.

Теорема: Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Итак, возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве (рис. 6):
а) прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют только одну общую точку;
б) прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;
в) прямые скрещиваются, т.е. не лежат в одной плоскости.

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Параллельные плоскости
Нам уже известно, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой (аксиома А16). Следовательно, две плоскости либо пересекаются по прямой, либо не пересекаются, т.е. не имеют ни одной общей точки (рис. 7).

Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Представление о параллельных плоскостях дают пол и потолок комнаты, две противоположные стены, поверхность стола и плоскость пола. Приведите свои примеры параллельных плоскостей из жизни.

Теорема: Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей:
1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны (рис. 8).
Наглядным подтверждением этого факта служат линии пересечения пола и потолка со стеной комнаты – эти линии параллельны.
Опишите геометрическую ситуацию, которая изображена на рисунке 8.
2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны (рис. 9).
Опишите геометрическую ситуацию, которая изображена на рисунке 9.

Задания:

Домашнее задание:
1. Составить тест по темам «Начальные понятия стереометрии» и «Параллельность в пространстве» (вопросов должно быть 15, в каждом вопросе 4 варианта ответа). Оформить данный тест нужно в MS Word (по возможности) или на отдельном листе бумаги формата А4.
2. Учить теорию.
3. Решить задачи.

4. (по желанию) Подготовить доклад по теме «История возникновения скрещивающихся прямых».