Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Сочетания и размещения. Часть I

Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей §52. Сочетания и размещения. Часть I Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Содержание Введение Пример 1. Учительница подготовила к контрольной работе… Решения: 1.а) 1.б) 1.в) 1.г) Пример 2. Известно, что х = 2аЗb5с и а, Ь, с — числа из множества {0,1,2, 3}. Решения: 2.а) 2.б) 2.в) 2.г) Актуализация опорных знаний: Определение 1. n! Теорема 1 о числе перестановок Pn =n! Пример 3. К хозяину дома пришли гости А, Б, С, D. За круглым столом — пять разных стульев. Решения: 3.а) 3.б) 3.в) 3. г) Пример 4. В чемпионате по футболу участвовало 7 команд. Решения: 1 способ; 2 способ; 3 способ Анализ примера 4 Определение 2. Число сочетаний из n элементов по 2 Пример 5. Встретились 11 футболистов и 6 хоккеистов и каждый стал по одному разу играть с каждым в шашки Теорема 3 и определение 3. Число размещений из n элементов по 2 Пример 6. В классе 27 учеников. К доске нужно вызвать двоих. Итоги выборов двух элементов из n данных Источники Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Введение Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 1 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 1.а) Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 1.б) Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 1.в) Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 1.г) Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 1.г) Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 2 Известно, что х = 2аЗb5с и а, Ь, с — числа из множества {0,1,2, 3}. а)Найти наименьшее и наибольшее значения числа х. б)Сколько всего таких чисел можно составить? в)Сколько среди них будет четных чисел? г)Сколько среди них будет чисел, оканчивающихся нулем? Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 2.а) Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 2.б) Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 2.в) Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 2.г) Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Актуализация опорных знаний В курсе алгебры 9 класса вы познакомились с понятием факториала и теоремой о перестановках. Напомним их. Определение 1. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел n! и называют «эн факториал»: n!=1 2 3 … (n-2) (n-1) n 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики * n 1 2 3 4 5 6 7 n! 1 1 2=2 2! 3=6 3! 4=24 4! 5=120 5! 6=720 6! 7=5040 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Актуализация опорных знаний Теорема 1. n различных элементов можно расставить по одному на n различных место ровно n! способами. Как правило, эту теорему записывают в виде краткой формулы: Pn=n! Pn-это число перестановок из n различных из n различных элементов, оно равно n!. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 3 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 3.а) Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 3.б) Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 3.в) Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 3.г) Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 4. Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

РЕШЕНИЕ: I способ Рассмотрим таблицу 7 7, в которую вписаны результаты игр. В ней 49 клеток. По диагонали клетки закрашены, так как никакая команда не играет сама с собой. Если убрать диагональные клетки, то останется 72-7=42 клетки. В нижней части результатов нет, потому что все они получаются отражением уже имеющихся результатов из верхней части таблицы. Поэтому количество всех проведенных игр равно половине от 42, т.е. 21. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики * 1 2 3 4 5 6 7 1 3:1 0:5 2:2 0:0 1:0 1:3 2 4:3 1:0 1:0 0:0 1:1 3 1:3 1:0 1:2 0:0 4 1:1 1:1 1:4 5 1:0 0:0 6 2:2 7 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

РЕШЕНИЕ: II способ Произвольно пронумеруем команды №1, №2, …, №7 и посчитаем число игр поочередно. Команда №1 встречается с командами №2-7 – это 6 игр, №2 – с №3-7 – это 5 игр и т.д. Всего 6+5+4+3+2+1=21 игр. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики * № команды № команд кол-во игр 1 2-7 6 2 3-7 5 3 4-7 4 4 5-7 3 5 6-7 2 6 7 1 ВСЕГО ИГР 21 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

РЕШЕНИЕ: III способ Используем геометрическую модель: 7 команд – это вершины выпуклого 7-угольника, а отрезок между двумя вершинами – это встреча двух соответствующих команд: сколько отрезков – столько игр. Из каждой вершины выходит 6 отрезков – столько игр. Получается 7 6=42 отрезков, каждый из которых посчитан дважды: и как АВ, и как ВА. Значит, 42/2=21 отрезок. ОТВЕТ: 21 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Анализ примера 4 Состав игры определен, как только мы выбираем две команды. Значит, количество всех игр в турнире для n команд – это в точности количество всех выборов двух элементов из n данных элементов. Важно при этом то, что порядок выбора не имеет значения, т.е. если выбрано две команды, то какая из них первая, а какая вторая – не существенно. Первую команду можно выбрать n способами, а вторую – (n-1) способами. По правилу умножения получаем n(n-1). Но при этом состав каждой игры посчитан дважды. Значит, число игр равно n(n-1)/2. Тем самым фактически доказана следующая теорема. Теорема 2 (о выборе двух элементов). Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента без учета их порядка, то такой выбор можно произвести n(n-1)/2 способами. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Определение 2 Достаточно длинный словесный оборот «число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n данных» неудобен при постоянном использовании в решении задач. Математики поступили просто: ввели новый термин и специальное обозначение. Определение 2. число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по 2 и обозначают (цэ из эн по два). 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 5. Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

РЕШЕНИЕ: а) б) в) Будем действовать по правилу умножения. Одно испытание – выбор футболиста, а другое испытание – выбор хоккеиста. Испытания предполагаются независимыми, и у них соответственно 11 и 6 исходов. Значит получится 11 6=66 игр. г) Можно сложить все предыдущие ответы: 55+15+66=136; но можно использовать и формулу для числа сочетаний: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Теорема 3 и определение 3 А что получится, если мы будем учитывать порядок двух выбираемых элементов? По правилу умножения получаем следующую теорему. Теорема 3. Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать из них два элемента, учитывая их порядок, то такой выбор можно произвести n(n-1) способами. Доказательство: Первый по порядку элемент можно выбрать n способами. Из оставшихся (n-1) элементов второй по порядку элемент можно выбрать (n-1) способом. Так как два этих испытания (выбора) независимы друг от друга, то по правилу умножения получаем n(n-1). Определение 3. Число всех выборов двух элементов с учетом их порядка из n данных называют числом размещений из n элементов по 2 и обозначают 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 6 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Итоги выборов двух элементов А как будут выглядеть формулы, если в них верхний индекс 2 заменить на 3, 4, … и вообще на произвольное число k, 1≤k ≤n? Здесь мы переходим к основному вопросу параграфа – к выборам, состоящим из произвольного числа элементов. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel. Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 * Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики