Проекции прямой

Прямая перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П2 и парал-лельна П1 и П3 . Фронтальная проекция А2 В2 вырождается в точку. На П1 и П3 прямая проецируется в натуральную величину. Проекция А1 В1 перпендикулярна оси координат х Пространственная картина Комплексный чертеж A B x Фронтально проецирующая прямая ( П2) П 1

x Пространственная картина Комплексный чертеж A B Горизонтально проецирующая прямая ( П1) Прямая перпендикулярна П1 , поэтому ее горизонтальная проекция А1 В1 вырождается в точку. Относительно П2 и П3 прямая параллельна и изображается на этих плоскостях проекций в натуральную величину. Проекция А2 В2 перпендикулярна оси координат х П 2 1 П 1

Все точки прямой АВ равноудалены от профильной плоскости проекций П3 и имеют одинаковую координату х (х= const). Горизонтальная А1 В1 и фронтальная А2 В2 проекции прямой перпендикулярны оси х. Профиль-ная проекция А3 В3 , углы и имеют натуральную величину на П3 Пространственная картина Комплексный чертеж z O x y1 y3 B A р Прямые уровня: профильная прямая (р П3) В 3 z y

Пространственная картина Комплексный чертеж x B f Прямые уровня: фронталь (f П2) A Все точки прямой АВ равноудалены от фронтальной плоскости проекций П2 и имеют одинаковую координату y (y= const). Горизонтальная проекция фронтали А1 В1 параллельна оси х. Фронтальная проекция фронтали А2 В2 , углы и изображаются в натуральную величину на П2 y=const y=const

Все точки прямой АВ равноудалены от горизонтальной плоскости про-екций П1 и имеют одинаковую аппликату z= const. Фронтальная проекция горизонтали А2 В2 параллельна оси х. Горизонтальная проекция горизон-тали А1 В1 , углы и изображаются в натуральную величину на П1 Пространственная картина Комплексный чертеж x h B A Прямые уровня: горизонталь (h П1) z=const

На чертеже проекции отрезка прямой общего положения имеют искаженные метрические характеристики, ни одна из ее проекций не параллельна осям координат и не перпендикулярна к ним Прямая общего положения наклонена ко всем плоскостям проекций Прямая общего положения k

У прямой частного положения на комплексном чертеже определяются натуральные величины каких-либо ее характеристик. Прямая уровня про-ецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой она парал-лельна. Одна из проекций проецирующей прямой вырождается в точку Прямая частного положения параллельна или перпендикулярна одной из плоскостей проекций Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, называется прямой уровня: Горизонтальная прямая уровня (горизонталь) h П1 Фронтальная прямая уровня (фронталь) f П2 Профильная прямая p П3 Прямая, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей прямой: Горизонтально проецирующая прямая П1 Фронтально проецирующая прямая П2 Профильно проецирующая прямая П3 Прямые частного положения

Метрические характеристики отрезка: н.в. – натуральная величина отрезка; – угол наклона отрезка к плоcкости П1 ; – угол наклона отрезка к плоcкости П2 ; – угол наклона отрезка к плоcкости П3 B A Положение прямой относительно плоскостей проекций Н.в. А 2 B 1 В 2 А 1 В 3 А 3 z y

Для построения профильной проекции прямой на безосном чертеже проводят постоянную чертежа k под углом 45 . С ее помощью по линиям связи получают профильную проекцию прямой А3 В3 , положение которой определяется разностями координат z и y k 45 Безосным называется чертеж, на котором отсутствуют оси проекций Безосный чертеж 45 z B 1

Проекции прямой m проходят через пары соответствующих проекций точек: горизонтальная проекция прямой m1 – через А1 и В1 ; фронтальная проекция прямой m2 – через А2 и В2 x Пространственная картина Комплексный чертеж Проекции прямой x O A B m

Положение прямой m в пространстве определяют две произвольные точки А и В, лежащие на этой прямой. Это наиболее удобный способ задания прямой. Прямая линия m считается заданной, если на комплексном чертеже построить проекции двух ее точек А и В Пространственная картина Проекции прямой O A B m

Проекции прямой Лекция 2

Метрические задачи Задача 1. Определить расстояние от точки А до прямой l способом перемены плоскостей проекций П4 П1 П4 l 2. П5 П4 П5 l АК- искомое расстояние При втором преобразовании введем новую плоскость проекций П5 перпендикулярно прямой l так, чтобы прямая заняла проецирующее положение. На П5 определяем натуральную величину А5 К5 перпендикуляра АК П1 П2 x l2 А1 l1 А2 П4 П5 x2 l4 П1 П4 x1 К1 К2

Метрические задачи Задача 1. Определить расстояние от точки А до прямой l способом перемены плоскостей проекций Искомое расстояние есть перпендикуляр. Введем новую плоскость проекций П4 параллельно прямой l так, чтобы прямая заняла частное положение уровня. По теореме о проецировании прямого угла проекция искомого расстояния А4К4 l4 определяется на плоскости проекций П4 П4 П1 П4 l П1 П2 x l2 А1 l1 А2 l4 П1 П4 x1

Взаимное положение двух прямых Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны между собой Проекции скрещивающихся прямых могут быть параллельны, т.к. пря-мые m и n лежат в параллельных плоскостях. Проекции скрещивающихся прямых могут иметь пересечение, т.к. прямые m и n не параллельны меж-ду собой. 1 и 2 – конкурирующие точки, принадлежащие разным прямым m n m1 n1 m2 n2 x m 1 m n x n 1 2

Взаимное положение двух прямых Параллельные прямые не имеют общих точек Проекции параллельных прямых не пересекаются. Одноименные проекции прямых параллельны или совпадают, если параллельные прямые лежат в проецирующей плоскости n m x n 1 m n m1 n1 m2 n2 m 1 n 1 m 2 n 2 m 2 n 2 m 1

Взаимное положение двух прямых Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку B A D C K x C 2 АВ СD = K(К1 , К2) А1 В1 С1 D1 = K1 А2 В2 С2 D2 = K2 Точка пересечения К прямых АВ и СD проецируется в точки пересече-ния соответствующих проекций прямых: на П1 - это точка К1 ; на П2 - точка К2 . Точки пересечения К1 и К2 одноименных проекций прямых лежат на одной линии связи B 1 А 1 А 2 В 2 D 1 D 2 C 2 C 1 А 1 А 2 В 2 B 1 D 2 C 1 D 1

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Схема: Г2 Г2 Для перевода прямой в положение горизонтали фронтальную проекцию прямой (А2 В2 А2 В2 ) располагают параллельно оси х. Новые проекции точек А1 и В1 расположены на соответствующих следах фронтальных плоскостей уровня Ф(Ф1 ) и Ф (Ф1 ) . На П1 имеем н.в. отрезка и угла

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций x Схема: Г2 Горизонтальную проекцию прямой (А1 В1 А1 В1 ) располагают параллель-но оси х. Фронтальную проекцию (определяющую н.в. отрезка и угла ) задают новые проекции точек А2 и В2 , расположенные на соответствую-щих следах горизонтальных плоскостей уровня Г(Г2 ) и Г(Г2 )

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Данный отрезок АВ занимает общее положение, преобразуем его во фронтальную прямую уровня путем перемещения концов отрезка по горизонтальным плоскостям уровня согласно схемы

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Схема: Для определения угла прямую АВ нужно вращать вокруг оси i П2 до положения горизонтали. Ось проходит через точку А, которая неподвижна. Точка В2 вращается по дуге окружности с центром в точке i2 до положения В2 А2 оси х. На П1 угол и отрезок АВ не искажаются

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Схема: Для упрощения горизонтально-проецирующую ось вращения l проводят через точку В, которая остается неподвижной. Точка А1 описывает дугу окружности с центром в точке l1 так, чтобы В1 А1 оси х. Тогда прямая АВ займет положение фронтали. На П2 угол и отрезок АВ не искажаются

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций x А1 B1 А2 B2 П2 П1 x1 П4 П1 А4 В4 Ось х2 новой плоскости проекций П5 проведем параллельно фронталь-ной проекции отрезка А2 В2 . В этом преобразовании сохраняются y - координаты точек. На П5 определяются натуральная величина отрезка и его угол наклона к плоскости проекций П2 x2 П2 П5 А5 В5 Схема:

Определение н.в. отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций (способ замены плоскостей проекций) Ось х1 новой плоскости проекций П4 проведем параллельно горизон-тальной проекции отрезка А1 В1 . В этом преобразовании сохраняются z-координаты точек. На П4 определяются натуральная величина отрезка и его угол наклона к плоскости проекций П1 x1 П4 П1 А4 В4 Схема:

Преобразование чертежа прямой общего положения.

x1 Заменим исходную фронтальную плоскость проекций П2 на новую плоскость проекций П4 , которой прямая АВ будет параллельна. При этом преобразовании расстояние точек от плоскости П1 (координата z) остается неизменным Способ перемены плоскостей проекций Схема: x П1 П4 x1 zА zА н.в. П2 П4 z П4= z П2 П4 П1 П4 П1=x1 П1 П2 А1 А2 x

Способ перемены плоскостей проекций x x2 В А Схема: П1 П5 y П5= y П1 П5 П2 П5 П2=x2 Заменим исходную горизонтальную плоскость проекций П1 на новую плоскость проекций П5 , которой прямая АВ будет параллельна. При этом преобразовании расстояние точек от плоскости П2 (координата у) остается неизменным x2 П2 П5 П 2 П 1 В 2 А 2 В 1 А 1 н.в. yА yА yА П1 П2 А1 А2 x

Прямая перпендикулярна П3 , ее профильная проекция А3 В3 вырождается в точку. Относительно П1 и П2 прямая параллельна, на этих плоскостях ее проекции имеют натуральную величину. Горизонтальная и фронталь-ная проекции прямой перпендикулярны осям y и z , соответственно Пространственная картина Комплексный чертеж B A x z y1 y3 Профильно проецирующая прямая ( П3) П 3 O z y

Теорема о проецировании прямого угла Задача: Построить проекции перпендикуляра, проведенного из точки С к прямой f D2 D1 C2D2 f2 D1 C1 Прямая f является фронталью и проецируется на П2 в натуральную величину. Следовательно, фронтальная проекция перпендикуляра С2 D2 перпендикулярна фронтальной проекции прямой f . Определяем основа-ние перпендикуляра – точку D. Строим горизонтальную проекцию С1 D1

Теорема о проецировании прямого угла Если на чертеже есть изображение прямого угла, то одна из его сторон обязательно натуральная величина x Одна из сторон прямого угла является горизонталью (h П1 ), поэтому на П1 угол будет прямым. На П2 показаны возможные положения фронтальной проекции прямой общего положения b Дано:

Теорема о проецировании прямого угла Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения Для доказательства продолжим сторону угла АВ до пересечения с ее проекцией А1 В1 в точке М1 . Через точку М1 проведем прямую М1 N1 В1 C1 . Т. к. BC П1 , то BC В1 С1 . Значит, М1 N1 ВС и BM1 N1 =90 . По теореме о 3-х перпендикулярах B1 M1 N1 =90 , следовательно, и A1 В1 С1 = 1 =90 Дано: Доказать: BC П1 B =90 1 = =90