Взаимодействие дефектов в приближении упругой среды

Тогда получим: Следовательно: подставим эти выражения в уравнение равновесия: получим: Отсюда , где введено обозначение: . Таким образом, в теории упругости дефект можно описать δ-функционной плотностью сил. Мощность дефекта характеризуется величиной 0. Реакция среды на дефект определяется ее модулем сжатия К. 1. Изменение объема для тела с указанным распределением плотности сил составит величину (слайд 1)

ПЛОТНОСТЬ ВНУТРЕННИХ СИЛ, ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЦЕНТРУ ДИЛАТАЦИИ Согласно атомной модели точечного дефекта ближайшие к точечному дефекту атомы испытывают действие дилатационных сил, обладающих симметричным распределением в каждой координационной сфере Система этих сил, разумеется, обладает результирующей и полным моментом равными нулю. Если вернуться к макроскопическому рассмотрению дефекта, то можно увидеть, что их действие эквивалентно действию трех пар сил равной величины, приложенных к точке расположения междоузельного атома или вакансии и направленных по координатным осям. Исходя из смещения вдали от дефекта, найдем вид этих объемных сил. В векторной записи смещения можно представить как .

Взаимодействие дефектов в приближении упругой среды Лекция 5

ПОВЕДЕНИЕ ДЕФЕКТА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ СМЕЩЕНИЯ. Дня описания поведения дефекта во внешнем поле воспользуемся уравнением статического равновесия упругой среды , здесь fi – плотность объемных сил, действующих внутри образца. Умножим обе части этого уравнения скалярно на радиус-вектор и проинтегрируем по всему пространству: Преобразуем левую часть уравнения следующим образом: при преобразовании было учтено, что . Первый интеграл определяется граничными условиями на поверхности. Во втором интеграле учтем, что , где K – модуль объемного сжатия. Следовательно: Таким образом, относительное изменение объема кристалла, связанное с действием внутренних сил f и сил на поверхности равно:

УПРУГОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОЧЕЧНЫХ ДЕФЕКТОВ. Пусть теперь в кристалле имеется два дефекта. Один дефект создает в матрице поле смещения, а другой дефект, воспринимая это смещение, должен взаимодействовать с первым. Именно таким образом в рамках теории упругости удается описать взаимодействие дефектов. Взаимодействия такого рода принято называть деформационными. Однако, точечный дефект в изотропном приближении создает только сдвиговые напряжения, следовательно, и взаимодействие дефектов отсутствует. Таким образом, два точечных дефекта в изотропной бесконечной среде в линейном приближении не взаимодействуют. В анизотропных средах мощность точечных дефектов может быть достаточно велика, а упругие поля, создаваемые дефектами не являются чисто сдвиговыми. В таких веществах между дефектами возникает взаимодействие. Природу деформационного взаимодействия удобно объяснить на приведённой ниже простой аналогии.

Последние два слагаемых определяет энергию взаимодействия дефекта с упругим полем: Пусть дефект, находящийся в точке Сдвинем дефект на величину – сила, с которой упруго деформированный кристалл действует на дефект. Как видно, точечный дефект взаимодействует с упругим полем двояким образом. С одной стороны дефект выступает как источник дилатации, это отражено в первом слагаемом линейном по деформациям. С другой стороны дефект проявляет себя как локальная неоднородность упругих свойств, что передает второе (квадратичное по деформациям) слагаемое. Первое слагаемое называют размерным эффектом, а второе – модульным эффектом.

Обычно деформации считают малыми, модульным эффектом (квадратичным по деформациям) пренебрегают и в выражении для энергии и силы оставляют линейное по упругим деформациям слагаемое: - простая изотропная среда Энергия и сила, действующую на центр дилатации, выражается только через среднее гидростатическое давление!!! Направление силы зависит от типа дефекта. Для дефекта с отрицательным дилатационным объемом (вакансии) сила направлена в сторону увеличения давления, то есть эти дефекты смещаются в более сжатые области кристалла. Сила, действующая на дефекты с положительным дилатационным объемом (междоузельные атомы), направлена в сторону понижения давления – дефекты смещаются в разреженные области кристалла. Чисто сдвиговые деформации никак не взаимодействуют с дефектом

Используем теперь явный вид для объемных сил, соответствующих наличию точечного дефекта в кристалле , а для преобразования последнего слагаемого в нашем выражении используем закон Гука Выполним интегрирование по частям в первом слагаемом, во втором – проведем тривиальное интегрирование, а в третьем учтем симметрию: T=const, R= F

Пусть кристалл, в котором находится точечный дефект, находится под действием внешней нагрузки. Рассмотрим некоторую общую задачу: дефект в упругом поле смещения, созданном внешней нагрузкой на среду. Работа, которую совершает внешнее поле над дефектом при малых смещениях последнего, найдем из работы внешних сил над образцом, содержащим дефект. Последняя равна:

Взаимодействие дефектов с внешним упругим полем Будем считать, что дефект воздействует на кристалл, в котором он находится, тремя способами. Прежде всего, он вызывает смещение атомов матрицы. Кроме того, дефект выступает в роли локальной неоднородности, то есть он с одной стороны вносит изменение в массу элементарной ячейки, с другой – дает локальное изменение силовых констант, входящих в закон Гука

2. Дилатация равна нулю везде, за исключением начала координат, то есть, как это получалось и раньше, точечный дефект создает только сдвиговую деформацию в окружающей бесконечной среде. Естественно, последний вывод справедлив только лишь тогда, когда среда является упруго изотропной, а точечный дефект эквивалентен центру дилатации. Иначе, упругое поле точечного дефекта, строго говоря, не является чисто сдвиговым. Обобщение - в общем случае неизотропной среды, возмущение можно записать: Как правило, характерный объем дефектов для вакансий отрицателен, для междоузлий положителен. Для простых металлов его величина составляет порядка 0.1ω0 однако, например, для анизотропного графита она достигает больших значений – порядка 5ω0 . В заключении отметим, что введенный здесь способ описания точечных дефектов – через плотность объемных сил подходит и для описания других типов дефектов, например, дислокаций.

Качественная картина взаимодействия междоузельных атомов в графите – слоистом веществе, обладающем сильными анизотропными свойствами.

Так, например, расчет показывает, что в графите – слоистом веществе, обладающем сильными анизотропными свойствами, взаимодействие двух междоузельных атомов, расположенных между одной и той же парой базисных плоскостей графита, на расстояниях меньших величины r0 ≈ 10 Å, носит характер притяжения. Причем энергия взаимодействия, величина которой достигает значения порядка 1 эВ, сопоставима с энергией ковалентной связи в базисных плоскостях (4.96 эВ). Подчеркнем, что благодаря анизотропии структуры графита область взаимодействия дефектов значительно превосходит межатомные расстояния – объем зоны, в пределах которой два междоузлия притягиваются друг к другу равен Va≈40ω0 . Деформационный потенциал взаимодействия междоузлий, расположенных между соседними парами базисных плоскостей графита, соответствует отталкиванию дефектов. Величина энергии отталкивания на малых расстояниях достигает значения равного 2 эВ.

Представим упругую горизонтальную поверхность, на которой на различных расстояниях друг от друга размещены небольшие шары (упругая поверхность имитирует плоскую кристаллическую решётку, а шары - дефекты в ней). Очевидно, что если расстояния между шарами велики, то они не будут "чувствовать" друг друга и расположатся каждый в своей лунке на поверхности. Однако стоит двум шарам сблизиться на некоторое минимальное расстояние, определяемое упругими свойствами поверхности и весом шаров, как под действием упругих сил они начнут двигаться на встречу друг другу и в результате "свалятся" в общую лунку. Очевидно, что при соответствующем начальном расположении в лунке может оказаться и большее количество шаров. На этом простом примере видно, что деформационное взаимодействие обуславливает взаимное притяжение одноимённых дефектов и может являться реальной причиной образования скоплений дефектов.