Решение неравенств методом интервалов

Решение неравенств методом интервалов. Алгебра и начала анализа, 10 класс. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

0 x y Пусть графиком функции y=f(x) является некоторая гладкая кривая: y=f(x) Очевидно, что D(f)=E(f)= . Обратим свое внимание на значения аргумента x1 , x2 , x3 , x4 – в этих точках график функции пересекает ось Ох или касается её. Это – так называемые нули функции (ординаты этих точек равны 0, т.е. f(x1)= f(x2)= f(x3)= =f(x4) =0). Аналитически их можно найти, решая уравнение f(x)=0. х4 х3 х2 х1

0 x y y=f(x) Точки x1 , x2 , x3 , x4 разбивают область определения функции D(f) на промежутки знакопостоянства, т.е. промежутки, на которых функция имеет либо положительные значения (f(x)>0), либо отрицательные (f(x)0, при х (– ; х1) (х2; х3) (х3; х4) и х2 х1 х3 х4 f(x)

Опираясь на эту геометрическую иллюстрацию, мы можем вывести алгоритм решения неравенств, получивший название «метод интервалов». Методом интервалов можно решить любое неравенство вида: f(x) 0. При решении придерживаются следующей схемы (перепишите её в тетрадь!): Найти D(f); Найти нули функции, решая уравнение f(x)=0; Отметить на D(f) все полученные нули; Определить знак функции на каждом полученном промежутке; Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим знаком. Проиллюстрируем данную схему на нескольких примерах. Пример 1. Решите неравенство . Решение. Под функцией f(x) следует понимать выражение в левой части неравенства. Это дробно-рациональная функция. 1) D(f)= , кроме х= – 4; 2 (данные значения обращают знаменатель в нуль) .

2) Найдем нули функции. Значение дроби равно нулю, если числитель этой дроби равен нулю, т.е. х= –1; 3; 7 – нули функции. 3) Обратите внимание, что точки разрыва функции (–4 и 2) всегда на числовой прямой будут пустыми (или «выколотыми»), а нули функции – в зависимости от знака неравенства (если знак неравенства строгий, то точки пустые, если нестрогий, то обычные). –4 2 х –1 3 7 + ■ на остальных промежутках (двигаемся от крайнего справа промежутка влево) знаки расставляются по правилу: знак по сравнению с предыдущим меняется, если показатель степени линейного множителя нечетный и не изменяется, если показатель степени линейного множителя четный. В нашем случае получается… (см.рис.). (х–3) (х–7) (х+1) (х–2) (х+4) 2 3 4 – – + – –

Вышеизложенный метод определения знаков на интервалах по сути опирается на понятие «кратных» корней. Если Вам этот термин не знаком, то можно воспользоваться другим способом: –4 2 х –1 3 7 + – – + – – ■ выбирая из каждого промежутка любое значение, подставляют в формулу, задающую данную функцию и определяют по полученной комбинации знак функции на каждом промежутке: Как Вы можете убедиться – результат расстановки знаков такой же, как в предыдущем способе.

5) Остается записать ответ, выбрав промежутки соответствующие знаку неравенства. В нашем случае, знаку « » соответствуют промежутки со знаком «+». Важно не забыть х=3!!! –4 2 х –1 3 7 + – – + – – Ответ: х [–1; 2) {3} [7; + ). Пример 2. Решите неравенство . Решение. Перенесем все в левую часть неравенства: . 1) D(f)= , кроме х= – 1; 1, где f(x)= ; 2) Нулей функции нет, т.к. дискриминант квадратного трехчлена отрицательный; 3) х – 1 1 4) Проверьте себя, как Вы поняли правило расстановки знаков… + – –

5) Ответ: х (–1; 1). Пример 3. Решите неравенство sinx+cos(2x)>1. Решение. Перепишем неравенство в виде: sinx >1 – cos(2x). Используя формулы половинного аргумента, получим: sinx >2sin2x или 2sin2x – sinx