Метод рационализации

Метод рационализации Работу выполнили: Белозерова О.М. Шарикова И.Е. г.Георгиевск

Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства, поэтому мы решили рассмотреть один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение задания С3 ЕГЭ, в частности логарифмических и показательных неравенств. Введение

Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем: Теоретическое обоснование метода

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида , (1) где - некоторые функции Теорема 1. Логарифмическое неравенство равносильно следующей системе неравенств: (2) Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство Если , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана. Доказательство

Теперь рассмотрим показательное неравенство вида 3) Так же, как в предыдущем пункте, - некоторые функции. И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям. В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства обращается), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется). Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме. Сведение показательных неравенств к системе рациональных неравенств

Теорема 2. Показательное неравенство равносильно следующей системе неравенств: (4)

+ - -1 3 1 ОТВЕТ: 0 -1 0 2 + - + (2;3) Пример 7 НАЗАД

- + -2 1 ОТВЕТ: -1 -1 0 + - Пример 8 НАЗАД

ВыражениеF ВыражениеG 1 1а 1б 2 2а 2б 3 4 4а 5 6

Доказательство Пусть loga f- loga g> 0, то есть loga f> loga g, причём a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0. Если 0 < a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f < g. Значит, выполняется система неравенств a -1 0 верное на области определения выражения F = loga f- logag. Если a > 1, то f > g. Следовательно, имеет место неравенство (a – 1)(f – g)> 0. Обратно, если выполняется неравенство (a – 1)(f – g)> 0 на области допустимых значений (a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем. a – 1 0 f – g < 0 f – g > 0 Из каждой системы следует неравенство loga f> loga g, то есть loga f- loga g> 0. Аналогично, рассматриваются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем = Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения или (h-1)(f-g) .

Так как = то, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения (f - 1)(g - 1)(h - 1)(g – f).

Из неравенства > 0 следует . Пусть число а > 1, тогда loga > loga или (h – g)loga h > 0. Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем (f – g)(a – 1)(h – 1) > 0, (f – g)(h – 1) > 0. Аналогично, доказываются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0. Доказательство проводится аналогично доказательству 4. Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств | p | > | q | и p2 > q2 ( | p | < | q | и p2 < q2).

Решить неравенство: Решение: Пример 1.

- - + + -2 2 1 ОТВЕТ:

Решить неравенство: Решение: Пример 2.

- + -2 1 0 ОТВЕТ: -1 -1 0 1 + - - +

Решить неравенство: Решение: Пример 3.

Пример 4. Решить неравенство: Решение:

Пример 5. Пример 6. Пример 7. Пример 8. ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ Решите примеры

Пример 9. Пример 10. Пример 11. ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ

Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011. Моденов В. П. – Пособие по математике. – 1972. Ткачук В.В. - Математика абитуриенту. Москва: МЦНМО, 2008.   С П И С О К использованной литературы