Презентация "Решение квадратных уравнений"

Туманова Ирина Павловна
Учитель математики высшей квалификационной категории
ЧОУ «Православная классическая гимназия им. сщмнч. Константина Богородского»
Решение квадратных уравнений

Обобщить изученный материал;
Развивать познавательную активность, творческие способности;
Формировать учебно - познавательную мотивацию школьников на уроке с помощью ИКТ;
Формировать умение применять математические знания к решению задач;
Воспитывать интерес к предмету.

Цели урока

Повторение теоретических сведений
Какое уравнение называется квадратным?
Какое  уравнение  называется неполным квадратным?
Какие уравнения называются приведенными?
Чему равен дискриминант?

Повторение теоретических сведений
Формула корней квадратного уравнения.
Чему равен дискриминант для четного второго коэффициента?
Формулы корней для четного второго коэффициента;
Что показывает дискриминант?
Сформулируйте теорему Виета?

Ответы
Уравнение вида aх² + bx +c = 0, где а, b и c – некоторые числа, причем а <> 0, а х – переменная, называется квадратным.
Если в уравнении вида aх² + bx +c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен 0, то уравнение называют неполным квадратным.
Квадратное уравнение с первым коэффициентом, равным 1, называется приведенным.
Выражение вида D=b² - 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

Ответы






a. Если D>0, то уравнение имеет два разных корня.
b. Если D=0, то уравнение имеет два равных корня.
c. Если D<0, то уравнение не имеет решений
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведения корней равно свободному члену.

Алгоритм решения квадратного уравнения
1. Вычислить дискриминант D по формуле D=b² - 4ac .
2. Если D < 0, то квадратное уравнение aх² + bx +c = 0 не имеет корней.
3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле
4. Если D > 0, то квадратное уравнение aх² + bx +c = 0 имеет два корня .

  Вариант 1.
 
1.    Квадратным уравнением называют уравнение вида…
2.    Квадратное уравнение называют приведенным, если…
3.    Напишите формулу вычисления дискриминанта кв. уравнения для любого в.
4.    Напишите формулы вычисления корней кв. уравнения для четного в.
5.    При каком условии квадратное уравнение не имеет корней?

Вариант 2.
 
1.    Квадратное уравнение называют неполным, если…
2.    В квадратном уравнении 1-й коэффициент -…, 2-й коэффициент -…, свободный член - …
3.    Напишите формулу вычисления дискриминанта кв. уравнения для четного в.
4.    Напишите формулы вычисления корней кв. уравнения для любого в.
5.    При каком условии квадратное уравнение имеет один корень?
Математический диктант.

Устные упражнения.

А теперь, друг, не зевай, а скорее называй уравнения, в которых не увидишь ты корней.
1.     (х - 1)(х +11) = 0;
2.     (х – 2)² + 4 = 0;
3.     (2х – 1)(4 + х) = 0;
4.     (х – 0.1)х = 0;
5.    х² + 5 = 0;
6.    9х² - 1 = 0;
7.    х² - 3х = 0;
8.    х + 2 = 0;
9.    16х² + 4 = 0;
10.  16х² - 4 = 0;
11.   0,07х² = 0.

Решите квадратные уравнения
2х² - 3x + 1 = 0;
4х² + 7x + 3 = 0;
3х² - 10x - 8 = 0;
3х² + 5x - 2 = 0;
6х² - 5x + 1 = 0.

Ответы
{1; 0,5}
{-1; -0,75}
{4; -2/3}
{-2; 1/3}
{1/2; 1/3}

№1. Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.
а) 3х² + 6х – 6 = 0, б) х² - 4х + 4 = 0, в) х² - х + 1 = 0.
№2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 по формуле D = b² - 4ac.
а) 5х² - 7х + 2 = 0, D = b² - 4ac = (-7) ² – 4· 5 · 2 = 49 – 40 = …;
б) х² - х – 2 = 0, D = b² - 4ac = (-1) ² - 4 · 1· (-2) = …;
№3. Закончите решение уравнения 3х² - 5х – 2 = 0.
D = b² - 4ac = (-5) ² - 4· 3·(-2) = 49.
х = …
№4. Решите уравнение.
а) (х - 5)(х + 3) = 0;
б) х² + 5х + 6 = 0
№5. При каком значении а уравнение х² - 2ах + 3 = 0 имеет один корень?  

№1. Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.
а) 4х² - 8х + 6 = 0, б) х² + 2х - 4 = 0, в) х² - х + 2 = 0.
№2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 по формуле D = b² - 4ac.
а) 5х² + 8х - 4 = 0, D = b² - 4ac = 8² – 4· 5 · (- 4) = 64 – 60 = …;
б) х² - 6х + 5 = 0, D = b² - 4ac = (-6) ² - 4 · 1· 5 = …;
№3. Закончите решение уравнения х² - 6х + 5 = 0.
D = b² - 4ac = (-6 ) ² - 4· 1·5 = 16.
х = …
№4. Решите уравнение.
а) (х + 4)(х - 6) = 0;
б) 4х² - 5х + 1 = 0
№5. При каком значении а уравнение х² + 3ах + а = 0 имеет один корень.

Итоги урока
Более 20 баллов – «отлично»
От 16 до 19 баллов – «хорошо»
От 10 до 15 баллов – «удовлетворительно»

Историческая справка
Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения.
Одним из тех, кто внес большой вклад в развитие математики, был французский математик Виет. Ф
ормы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел

Историческая справка
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.
Квадратные уравнения умели решать вавилоняне около 2000 лет до н. э. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения
х² +х = 3/4, х² - х = 1/2
Квадратные уравнения в Европе
Лишь в XVII веке благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Историческая справка и задача.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого математика Индии 12 века Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

Теорема Виета
Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил французский ученый Франсуа Виет (1540-1603). Ф. Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была его увлечением, или как говорят хобби, благодаря упорному труду он добился в нем больших результатов. Виет в 1591г. ввел буквенные обозначения для неизвестных и коэффициентов уравнений, что дало возможность записывать общими формулами корни и другие свойства уравнения.
Недостатком алгебры Виета была то, что он признавал только положительные числа. Чтобы избежать отрицательных решений, он заменял уравнения или искал искусственные приемы решений, что отнимало много времени, усложняло решение и часто приводило к ошибкам.Много разных открытий сделал Виет, но сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, то есть той зависимостью, которая называется «теоремой Виета».

Решите уравнения

1) х² + 2x - 63 = 0;
2) х² +18x + 65 = 0;
3) х² - 2x - 6 = 0;
4) х² + 2x - 4 = 0;
5) 2х² - 5x + 2 = 0;
6) 2х² - 3x - 2 = 0.