Презентация к уроку геометрии "Центральные и вписанные углы." (9 класс)

Центральные и вписанные углы.
Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42
Рыбина М.В.

Определение центрального угла
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается.

Определение вписанного угла
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов
Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу. Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

Теорема о центральном угле
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
ㄥAOB = ◡ AB

Свойства центральных и вписанных углов
Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

Свойства центральных и вписанных углов
Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 , ㄥАCB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥАCB = 90 .

Свойства центральных и вписанных углов
Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCDB, поскольку лежат на хорде BC.

Свойства центральных и вписанных углов
Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды. ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

ЗАДАЧА 1
Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Решение.
⌣ AВ = 360° − ⌣ AC − ⌣ CB =
=360° − 200° − 80° = 80°
ㄥACB = ½ ⌣ AB = 40°
Ответ: 40°

ЗАДАЧА 2
Дана окружность, ㄥAOC = 140°.
Найдите ㄥABC.
Решение.
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального,
то ㄥABC = ½  AOC = 140/2 = 70°
Ответ:70°

ЗАДАЧА 3


Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга равна ⅕ окружности?
Решение.
⌣ AС = ⅕  360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому
ㄥABC = ½ ⌣ AC = 72° / 2 = 36°
Ответ:36°

ЗАДАЧА 4
Центральный угол на 36 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Решение:
Пусть центральный угол равен x, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен y.
Мы знаем, что x = 2y
Отсюда 2y = 36 + y
y = 36
Ответ: 36.

Задача 5

Задача 6

Задача 7
Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Задача 8

Задача 9
Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
Решение.
Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, так как AO = OB = AB = R.
Поэтому угол AOB = 60. Вписанный угол ACB равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 30
Ответ: 30.

Задача 10

Задача 11
В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30. Найдите величину угла OAB.
Решение.
Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны, угол ОАВ = 30
Ответ: 30.

Задача 12
Найдите градусную меру центрального MON, если известно, что NP — диаметр, а градусная мера MNP равна 18
Решение:
Треугольник MON — равнобедренный. Тогда 
MON = 180 - 218 = 144 −
Ответ: 144.

Задача 14

Задача 13

рефлексия

Домашнее задание
Повторить § 2, п. 72, 73
Выполнить в тетради № 654, 655

Использованные источники:
https://skysmart.ru/articles/mathematic/centralnye-i-vpisannye-ugly
https://www.yaklass.ru/p/geometria/8-klass/okruzhnost-9230/tcentralnye-i-vpisannye-ugly-svoistvo-peresekaiushchikhsia-khord-okruzhnos_-9243/re-f19ac10b-2759-4ec1-8a1d-d0bdfd22769e
https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/cangle.htm
https://uchitel.pro/центральный-угол-вписанный-угол/
https://foxford.ru/wiki/matematika/vpisannyy-i-tsentralnyy-ugly
https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/centralnyj-i-vpisannyj-ugol-svojstv-2/?utm_num_popup=3