СТАТИСТИКА В ЭКОНОМИКЕ. БАНКОВСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

«СТАТИСТИКА В ЭКОНОМИКЕ. БАНКОВСКИЕ ОПЕРАЦИИ: НАЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ»
Преподаватель: Стахиряк Е.И.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА
ПЕЧОРСКОЕ РЕЧНОЕ УЧИЛИЩЕ –
филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования
«Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова»

ЦЕЛЬ УРОКА
Использование полученных знаний о простых и сложных процентах в банковской системе для достижения целостного представления об изучаемых дисциплинах и их применение на практике.

ПЛАН УРОКА
Вывести формулу сложного процентного роста;
Ввести определение капитализации процентов;
Познакомиться с формулой простого процентного роста;
Выяснить, чем отличается формула простого процентного роста от формулы сложного процентного роста;
Научиться решать задачи на вычисление процентного роста.

Процентом (от лат. pro cento) числа называется сотая часть этого числа

Чтобы найти процент от числа,
надо данное число умножить на число процентов, и полученный результат поделить на 100

На счёт в банке положили 10000 рублей. Банк начисляет по этому счёту 4% годовых. Найдите сумму, которая будет на счету через один год хранения?

На счёт в банке положили 10000 рублей. Банк начисляет по этому счёту 4% годовых. Найдите сумму, которая будет на счету через один год хранения?

На счёт в банке положили 10000 рублей. Банк начисляет по этому счёту 4% годовых. Найдите сумму, которая будет на счету через один год хранения?

На счёт в банке положили 10000 рублей. Банк начисляет по этому счёту 4% годовых. Найдите сумму, которая будет на счету через один год хранения?

На счёт в банке положили 10000 рублей. Банк начисляет по этому счёту 4% годовых. Найдите сумму, которая будет на счету через один год хранения?

S1 =P ∙ (1 + i)
Первый тип задач:

Сколько денег будет в конце второго года хранения, если теперь процент начисляется на новую сумму, находящуюся на счету?

S2 = S1 ∙ (1 + i) = P ∙ (1 + i) ∙ (1 + i) = P ∙ (1 + i)2

S2 =P ∙ (1 + i)2
Второй тип задач:

Сколько денег будет в конце третьего года хранения?

S3 = S2 ∙ (1 + i) = P ∙ (1 + i)2 ∙ (1 + i) = P ∙ (1 + i)3

S3 =P ∙ (1 + i)3
Третий тип задач:

Сколько денег будет в конце n-го года хранения?

Sn = P ∙ (1 + i)n






Формула сложного процентного роста

Капитализация процентов
Капитализацией процентов
называется присоединение начисленных процентов к сумме, являющейся базой для их начисления.

Sn = P ∙ (1 + i)n
Sn - наращенная сумма через n лет,
P – базовая сумма (первоначальный капитал),
i – процентная ставка,
n – число периодов наращения (число промежутков времени).

Sn = P ∙ (1 + ni),

где параметры P, i, n имеют тот же смысл, что и в формуле сложного процентного роста;
(1 + ni) – множитель (или коэффициент) наращения по простым процентам.

Формула простого процентного роста

Отличия формул
Простой процентный рост

Sn = P ∙ (1 + i)n
Сложный процентный рост

Sn = P ∙ (1 + ni)
Исходная сумма, или база (P), для начисления сложных процентов увеличивается
с каждым периодом начисления, а для
простых процентов постоянна

Задачи

Задача 1
Клиент положил на счёт в банке 1000 рублей. За оказание определённой услуги сумма на счёте ежемесячно снижается на 5%. Через сколько месяцев эта сумма сократится:
а) до 800 руб.;
б) до 700 руб.;
в) до 400 руб.;
г) до 100 руб.?

Sn = P ∙ (1 - ni)
P – начальный капитал = 1000 рублей;
i – процентная ставка = 0,05;
n - число месяцев - ?
Sn – конечный капитал:
800 руб.
700 руб.
400 руб.
100 руб.

Решение задачи
Sn = P ∙ (1 - ni); Sn = P - Pni; Pni = P - Sn; 
n =
Решение:
а) n = = 4 мес.

б) n = = 6 мес.

в) n = = 12 мес.

г) n = = 18 мес.

Задача 2
Какая сумма будет на счёте через 5 лет, если на него внесено 5000 рублей под 20% годовых?

Sn = P ∙ (1 + i)n
P – начальный капитал = 5000 рублей;
i – процентная ставка = 0,2;
n - число лет хранения суммы = 5
Sn – конечный капитал - ?

Решение:
Sn = P ∙ (1 + i)n = 5000 ∙ (1 + 0,2)5 = 5000 ∙ 2,48832 = =12441,6 руб.

Ответ: Sn = 12441,6 рублей.

Задача 3
За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 9% годовых. Вкладчик положил на счёт 10000 рублей и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счёта и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счёте вкладчика через год? Через 2 года? Через 5 лет?

Решение:
Способ I (математический):

- Сколько рублей составляет 9% от 10000 рублей?
10000 ∙ 0,09 = 900 руб.

- Сколько денег окажется на счёте через один год?
10000 + 900 = 10900 руб.

- Сколько рублей составляет 9% от 10900 рублей?
10900 ∙ 0,09 = 981 руб.

- Сколько денег окажется на счёте через два года?
10900 + 981 = 11881 руб.

Решение:
Способ II (экономический):
Это задача на сложный процентный рост. Воспользуемся формулой
Sn = P ∙ (1 + i)n, где
P = 10000 рублей;
i = 0,09;
n - число лет хранения суммы – 1 год, 2 года, 5 лет
Sn - ?

Решение:
При n = 1 получим
S1 = P ∙ (1 + i) = 10000 ∙ (1 + 0,09) 1 = 10000 ∙ 1,09 = 10900 руб.

При n = 2 получим
S2 = P ∙ (1 + i)2 = 10000 ∙ (1 + 0,09)2 = 10000 ∙ 1,092 = 11881руб.

Для случая n = 5 конечный капитал вычислите самостоятельно.
S5 = 10000 ∙ (1 + 0,09)5 = 15386,24 руб.

Самостоятельная работа №1

Задача 4
Предприятие располагает собственным капиталом в 100 млн. руб. и берёт в банке взаймы под 10% годовых ещё 50 млн. руб. Норма прибыли предприятия (рентабельность производства) составляет 30%.
Чему равен доход предприятия за год работы?

Задача 5
Заполните таблицу для сложных процентов:

Решение 4 задачи
100 + 50 = 150 млн. руб. – общий капитал;

150 ∙ 0,3 = 45 млн. руб. – полученная прибыль на 150 млн. руб.

50 ∙ 0,1 = 5 млн. руб. – выплата за ссуду;

45 – 5 = 40 млн. руб. – доход предприятия.

Ответ 40 млн. руб.

Решение 5 задачи
Заполните таблицу для сложных процентов:

Таблицы коэффициентов наращения по сложным процентам


где Qc - коэффициент наращения по сложным процентам; тогда

Sn = P ∙ Qc

Задача 6
Назовите по таблице коэффициент наращения по ставке:

а) 15% годовых для n = 4
Qc = 1,7490

б) 8% годовых для n = 5
Qc = 1,4693

Самостоятельная работа №2

Задача 7
Вкладчик открыл счёт в сбербанке на сумму 15000 руб. с годовой процентной ставкой, равной 8%. Какую сумму он будет иметь на счёте через 3 года? Через 5 лет?

Решение:
Найдём Qc по таблице: Qc = 1,2597; тогда
15000 ∙ 1,2597 = 18895,5 руб.;
Найдём Qc по таблице: Qc = 1,4693; тогда
15000 ∙ 1,4693 = 22039,5 руб.;

Ответ: 18895,5 руб.; 22039,5 руб.

Графики коэффициентов наращения по простым и сложным процентам
Заполните таблицу и постройте график зависимости
Q и Qc от n.

Графики коэффициентов наращения по простым и сложным процентам
Заполните таблицу и постройте график зависимости
Q и Qc от n.

График коэффициентов наращения
Наращение по сложным процентам выгоднее для вкладчиков.

Попробуем по приведённым цифрам вычислить процентную ставку, которую платил ломбард в то время по вкладам. Возраст Порфирия в момент расчётов примем равным 50 годам.
Решение:
Пусть ставка равна x%, тогда из формулы
Sn = P ∙ (1 + i)n получим
S50 = 100 ∙ (1 + x)50, или 800 = 100 ∙ (1 + x)50, или
(1 + x)50 = 8, или
1 + x = 50√8, или
x ≈ 1,04 – 1 ≈ 0,04, или x ≈ 4%
Ответ: в то время ломбард платил 4% годовых.

Блиц – турнир ребусов

Конкурс «Кто первый»
По горизонтали:
1. Деньги, взимаемые государством на его нужды у граждан и организаций.
3. Событие, которое разрушает, убивает, грабит людей, но может служить пополнением казны. 4.Печатание (выпуск) денег.
По вертикали: 1. Какая бывает финансовая инспекция?
2. Когда цены растут, деньги обесцениваются – это называется…

Конкурс «Кто первый»
По горизонтали:
1. Деньги, взимаемые государством на его нужды у граждан и организаций.
3. Событие, которое разрушает, убивает, грабит людей, но может служить пополнением казны. 4.Печатание (выпуск) денег.
По вертикали: 1. Какая бывает финансовая инспекция?
2. Когда цены растут, деньги обесцениваются – это называется…

Задание на дом
Задача

1. Что выгоднее: заплатить за учёбу в вузе 10000 у. е. в начале обучения или 15000 у. е. по окончании учёбы (через 5 лет). Процентная ставка равна 10% годовых.

2. Посетите операционный зал сбербанка и выпишите:
виды вкладов;
годовые процентные ставки по ним;
срок наращения;
минимальный взнос.
составьте задачу и решите её.

Рефлексия
Джон Мейнард Кейнс:
«Экономика – это не доктрина, а скорее метод, аппарат ума, способ мышления, который помогает его обладателю делать правильные выводы»

Роберт Фрост:
«Банк – это то место, где вам одалживают зонтик в ясную погоду, а потом просят его вернуть, когда начинается дождь»