Презентация по математике на тему "Геометрический смысл производной"(1 курс)1 курс)

«Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции».
Разработала: Л. Н. Ткаченко
преподаватель математики
ГБПОУ ВО «ВПТ»
Для 1 курса специальности 23.02.07

Используя формулы и правила дифференцирования, найдите производные следующих функций:



1. 𝑦= 1 𝑥 +5𝑥−2;
2. 𝑦= 𝑥 2 + 𝑥 3
3. 𝑦= 𝑥 3 − 4 𝑥 2 + 𝑥 ;
4. 𝑦= 4𝑥 3 − 3𝑥 2 ;
5. 𝑦=4𝑥−1;
6. 𝑦=2𝑥 3 −1;
7. 𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝑥− 2 𝑥 .

-  
;

Секущей называется прямая, проходящая через любые две точки графика функции.



Проходящую через точку ( 𝒙 𝟎 ; 𝒚 𝟎 ) прямую, с отрезком которой практически сливается график функции f при значениях х, близких к 𝒙 𝟎 , называют касательной к графику функции в точке ( 𝒙 𝟎 ; 𝒚 𝟎 ) .

Секущая 𝑴 𝑴 𝟎 при приближении точки 𝑴 к точке 𝑴 𝟎 будет менять свое положение.
Она будет как бы поворачиваться
около точки 𝑴 𝟎 , пока не займет такое положение, что будет иметь с графиком функции только одну общую точку – точку 𝑴 𝟎 . Т. е. пока не перейдет в прямую 𝑴 𝟎 𝑩. Эту прямую – предельное положение секущей- называют касательной к графику функции в точке 𝑴 𝟎 .

Геометрический смысл производной:
значение производной в точке равно
угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке и равно тангенсу угла, образованного касательной с положительным направлением оси абсцисс.

𝒌=𝒇′(𝒙)=𝒕𝒈𝜷





  

Зависимость значения производной в точке касания от градусной меры угла, образованного касательной с положительным направлением оси абсцисс:












Если угол наклона прямой, то тангенс не существует, а значит, и производная не существует.

№ 1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе в данной на ней точке:
𝑦= 𝑥 2 −3𝑥+2 в точке 𝑥=2.
№ 2. Найдите тангенс угла наклона касательной к кривой 𝑦= 𝑥 3 к оси Ох в точке 𝑥=−2.

Решение.
№ 1. Найдем производную функции 𝑦= 𝑥 2 −3𝑥+2: 𝑦 ′ =2𝑥−3.
Теперь найдем значение полученной
производной в точке 𝑥=2: 𝑦 ′ 2 =2∙2−3=1.
Следовательно, 𝑘=1.





№2. Найдем производную функции 𝑦= 𝑥 3 :
𝑦 ′ =3 𝑥 2 .
Теперь найдем значение полученной
производной в точке 𝑥=2: 𝑦 ′ (−2)=3( −2) 2 =12. Следовательно, 𝑡𝑔𝛼=12 .

Уравнение касательной имеет вид:
у = f( 𝒙 𝟎 ) + f '( 𝒙 𝟎 )(х – 𝒙 𝟎 ).

Алгоритм нахождения уравнения касательной
к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой 𝒙 𝟎 :

1. Находим значение функции в данной точке.
2. Находим производную данной функции f '(x).
3. Находим значение производной функции в данной точке f'( 𝐱 𝟎 ).
4. Подставляем данные в уравнение касательной к графику функции.

Прямая, проходящая через точку А перпендикулярно секущей, называется нормалью к кривой в точке А.


Уравнение нормали имеет вид:
𝒚− 𝒚 𝟎 =− 𝟏 𝒇′ 𝒙 𝟎 𝒙− 𝒙 𝟎 .

№ 3. Составьте уравнение касательной и нормали к кривой: 𝒚=𝟑 𝒙 𝟐 −𝒙 в точке 𝒙 𝟎 =−𝟏.


Решение.
Найдем производную заданной функции и вычислим ее значение в точке 𝑥 0 =−1:
𝑦 ′ =6𝑥−1 , 𝑦 ′ −1 =−7 .
Значение функции в точке 𝑥 0 =−1 равно:
𝑦 0 =3∙ −1 2 +1=4
Подставим полученные значения в уравнение касательной:
𝒚−𝟒=−𝟕 𝒙+𝟏 .
Подставим полученные значения в уравнение нормали:
𝑦−4=− 1 −7 𝑥+1 или 𝒚−𝟒= 𝟏 𝟕 𝒙+𝟏 .

Алгоритм нахождения уравнения нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой 𝒙 𝟎 :

1. Находим значение функции в данной точке.
2. Находим производную данной функции f '(x).
3. Находим значение производной функции в данной точке f'( 𝐱 𝟎 ).
4. Подставляем данные в уравнение касательной к графику функции.

Производной второго порядка называется производная от производной первого порядка: 𝒚 ′′ = 𝒚′ ′
Физический смысл производной:
Скорость равна производной расстояния по времени.
- Ускорение равно производной скорости по времени.

Контрольные вопросы.
В чем заключается геометрический смысл производной?
Запишите уравнения касательной и нормали, проведенных через данную точку на кривой.
Как вычисляется угловой коэффициент касательной в данной точке кривой?
Как определяется скорость изменения функции при данном значении аргумента?
Как определяется ускорение прямолинейного движения точки при данном значении аргумента?
В чем заключается физический смысл производной?