Презентация по математике "Подготовка к ЕГЭ. Куб. Прямоугольный параллелепипед"(11 класс)

Прямоугольный параллелепипед. Куб.
Решение задач
Алгоритм решения задачи №2 (ЕГЭ, профиль) или №№11, 13 (ЕГЭ, база)

Подготовка к ЕГЭ
1.1. Площадь поверхности куба равна 2888. Найдите его диагональ
1.2. Площадь поверхности куба равна 1458. Найдите его диагональ
A
D
C
B
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
𝑫 𝟏
𝑺 куба =𝟔 𝒂 𝟐
𝑺 куба =𝟐𝟖𝟖𝟖
⇒𝟔 𝒂 𝟐 =𝟐𝟖𝟖𝟖
𝒂 𝟐 = 𝟐𝟖𝟖𝟖 𝟔 ⇒
⇒ 𝒂 𝟐 = 𝟏𝟒𝟒𝟒 𝟑
⇒𝒂= 𝟏𝟒𝟒𝟒 𝟑 = 𝟑𝟖 𝟑
𝒅=𝒂 𝟑
𝒅= 𝟑𝟖 𝟑 ∙ 𝟑 =𝟑𝟖
Ответ. 27
Ответ. 38

Подготовка к ЕГЭ
2.1. Объём куба равен 343. Найдите площадь его поверхности
2.2. Объём куба равен 1728. Найдите площадь его поверхности
A
D
C
B
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
𝑫 𝟏
𝑽 куба = 𝒂 𝟑
𝑽 куба =𝟑𝟒𝟑
⇒ 𝒂 𝟑 =𝟑𝟒𝟑
𝒂=𝟕
𝑺 куба =𝟔 𝒂 𝟐
⇒𝑺 куба =𝟔 ∙𝟕 𝟐 =𝟔 ∙𝟒𝟗
𝑺 куба =𝟐𝟗𝟒
Ответ. 294
Ответ. 864

Подготовка к ЕГЭ
3.1. Если каждое ребро куба увеличить на 3, то площадь его поверхности увеличится на 342. Найдите ребро куба
3.2. Если каждое ребро куба увеличить на 2, то площадь его поверхности увеличится на 240. Найдите ребро куба
𝑺 куба =𝟔 𝒂 𝟐
𝑺 бол. куба =𝟔 𝒂+𝟑 𝟐
так как 𝑺 бол.куба − 𝑺 куба =𝟑𝟒𝟐, то
𝟔 𝒂+𝟑 𝟐 −𝟔 𝒂 𝟐 =𝟑𝟒𝟐
:𝟔
𝒂 𝟐 +𝟔𝒂+𝟗− 𝒂 𝟐 =𝟓𝟕
𝟔𝒂+𝟗=𝟓𝟕⇒
𝟔𝒂=𝟓𝟕−𝟗⇒
𝟔𝒂=𝟒𝟖⇒
𝒂=𝟖
Ответ. 8
Ответ. 9

Подготовка к ЕГЭ
4.1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 9 и 8. Объём параллелепипеда равен 288. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины
4.2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 7. Объём параллелепипеда равен 1008. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины
𝟗
𝟖
𝑽 пар =𝒂𝒃𝒄
𝑽 пар =𝟐𝟖𝟖
⇒𝟗 ∙𝟖 ∙𝒄=𝟐𝟖𝟖
𝒄=𝟐𝟖𝟖 :𝟕𝟐
𝒄=𝟒
Ответ. 4
Ответ. 12

Подготовка к ЕГЭ
5.1. Во сколько раз увеличится объём куба, если все его рёбра увеличить в двенадцать раз?
5.2. Во сколько раз увеличится объём куба, если все его рёбра увеличить в тринадцать раз?
𝑽 куба = 𝒂 𝟑
𝑽 бол.куба 𝑽 куба =
𝟏𝟐𝒂 𝟑 𝒂 𝟑 =
𝟏𝟕𝟐𝟖 𝒂 𝟑 𝒂 𝟑 =𝟏𝟕𝟐𝟖
Ответ. 1728
Ответ. 2197

Подготовка к ЕГЭ
6.1. Диагональ куба равна 𝟑𝟎𝟎 . Найдите его объём
6.2. Диагональ куба равна 𝟏𝟐 . Найдите его объём
𝒅 куба = 𝟑𝟎𝟎
𝒅 куба =𝒂 𝟑
⇒𝒂 𝟑 = 𝟑𝟎𝟎
𝒂= 𝟑𝟎𝟎 : 𝟑
𝒂= 𝟑𝟎𝟎 :𝟑
𝒂= 𝟏𝟎𝟎
𝒂=𝟏𝟎
𝑽 куба = 𝒂 𝟑
𝑽 куба = 𝟏𝟎 𝟑 =𝟏𝟎𝟎𝟎
Ответ. 1000
Ответ. 8

Подготовка к ЕГЭ
7.1. Объём куба равен 1536 𝟑 . Найдите его диагональ
7.2. Объём куба равен 2187 𝟑 . Найдите его диагональ
𝒅 куба =𝒂 𝟑
⇒𝒂= 𝒅 𝟑
𝑽 куба = 𝒂 𝟑
𝑽 куба =𝟏𝟓𝟑𝟔 𝟑
⇒ 𝒅 𝟑 𝟑 𝟑 =𝟏𝟓𝟑𝟔 𝟑
⇒ 𝒅 𝟑 𝟑 𝟑 =𝟏𝟓𝟑𝟔 𝟑
∙𝟑 𝟑
⇒ 𝒅 𝟑 =𝟏𝟓𝟑𝟔 ∙𝟗
⇒ 𝒅 𝟑 =𝟓𝟏𝟐 ∙𝟑 ∙𝟗
⇒ 𝒅 𝟑 =𝟓𝟏𝟐 ∙𝟐𝟕
⇒𝒅=𝟖 ∙𝟑=𝟐𝟒
Ответ. 24
Ответ. 27

Подготовка к ЕГЭ
8.1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 32 и 42. Диагональ параллелепипеда равна 58. Найдите объём параллелепипеда
8.2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 36. Диагональ параллелепипеда равна 39. Найдите объём параллелепипеда
𝟑𝟐
𝟓𝟖
𝟒𝟐
𝒅 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐
⇒𝟓𝟖 𝟐 = 𝟒𝟐 𝟐 + 𝟑𝟐 𝟐 + 𝒄 𝟐
⇒ 𝒄 𝟐 = 𝟓𝟖 𝟐 − 𝟒𝟐 𝟐 + 𝟑𝟐 𝟐
⇒ 𝒄 𝟐 =𝟑𝟑𝟔𝟒− 𝟏𝟕𝟔𝟒+𝟏𝟎𝟐𝟒
𝒄 𝟐 =𝟑𝟑𝟔𝟒−𝟐𝟕𝟖𝟖=𝟓𝟕𝟔
⇒𝒄=𝟐𝟒
𝑽 пар =𝒂𝒃𝒄
𝑽 пар =𝟒𝟐 ∙𝟑𝟐 ∙𝟐𝟒
𝑽 пар =𝟑𝟐𝟐𝟓𝟔
Ответ. 32256
Ответ. 3888

Подготовка к ЕГЭ
9.1. Если каждое ребро куба увеличить на 2, то его объём увеличится на 386. Найдите ребро куба
9.2. Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его объём увеличится на 1647. Найдите ребро куба
𝑽 куба = 𝒂 𝟑
𝑽 бол. куба = 𝒂+𝟐 𝟑
так как 𝑽 бол.куба − 𝑽 куба =𝟑𝟖𝟔, то
𝒂+𝟐 𝟑 − 𝒂 𝟑 =𝟑𝟖𝟔
𝒂+𝒃 𝟑 = 𝒂 𝟑 +𝟑 𝒂 𝟐 𝒃+𝟑𝒂 𝒃 𝟐 + 𝒃 𝟑
𝒂 𝟑 +𝟔 𝒂 𝟐 +𝟏𝟐𝒂+𝟖− 𝒂 𝟑 −𝟑𝟖𝟔=𝟎
𝟔 𝒂 𝟐 +𝟏𝟐𝒂−𝟑𝟕𝟖=𝟎
:𝟔
𝒂 𝟐 +𝟐𝒂−𝟔𝟑=𝟎
𝒂=−𝟗
𝒂=𝟕
Ответ. 7
Ответ. 12

Подготовка к ЕГЭ
10.1. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 𝟖 и образует с плоскостью этой грани угол 𝟒𝟓°. Найдите объём параллелепипеда
10.2. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 𝟐 и образует с плоскостью этой грани угол 𝟑𝟎°. Найдите объём параллелепипеда
𝟖
𝟒𝟓°
∠ 𝒅, осн =∠𝑩𝑫 𝑩 𝟏 =𝟒𝟓°
B
𝑩 𝟏
D
1) в 𝜟𝑩𝑫 𝑩 𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝑫 = 𝑩 𝑩 𝟏 𝑩 𝟏 𝑫
𝐜𝐨𝐬 𝑫 = 𝑩𝑫 𝑩 𝟏 𝑫
⇒ 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟓° = 𝑩 𝑩 𝟏 𝟖
⇒ 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓° = 𝑩𝑫 𝟖
⇒ 𝟐 𝟐 = 𝑩 𝑩 𝟏 𝟖
⇒𝑩 𝑩 𝟏 =𝟐
⇒ 𝟐 𝟐 = 𝑩𝑫 𝟖
⇒𝑩𝑫=𝟐
A
2) в 𝜟𝑨𝑩𝑫
𝑩𝑫=𝑨𝑫 𝟐 =𝑨𝑩 𝟐
⇒𝑨𝑩=𝑩𝑫= 𝟐
𝟑) 𝑽 пар =𝒂𝒃𝒄
𝑽 пар = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙𝟐=𝟒
Ответ. 4
Ответ. 1,5

Подготовка к ЕГЭ
11.1. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 1, 4, 7. Найдите площадь его поверхности
11.2. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 1, 6, 9. Найдите площадь его поверхности
𝟕
𝟒
1
𝑺 пов =𝟐 𝒂𝒃+𝒂𝒄+𝒃𝒄
𝑺 пов =𝟐 𝟏∙𝟒+𝟏∙𝟕+𝟒∙𝟕
𝑺 пов =𝟐 𝟒+𝟕+𝟐𝟖
𝑺 пов =𝟐∙𝟑𝟗=𝟕𝟖
Ответ. 78
Ответ. 138

Подготовка к ЕГЭ
12.1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его рёбра увеличить в 24 раза?
12.2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его рёбра увеличить в 23 раза?
𝑺 куба =𝟔 𝒂 𝟐
𝑺 бол. куба =𝟔 𝟐𝟒𝒂 𝟐
𝑺 бол. куба =𝟔∙ 𝟐𝟒 𝟐 ∙ 𝒂 𝟐
𝑺 бол. куба =𝟔 𝒂 𝟐 ∙𝟓𝟕𝟔
Ответ. 576
Ответ. 529

Подготовка к ЕГЭ
13.1. Диагональ куба равна 31. Найдите, площадь его поверхности
13.2. Диагональ куба равна 16. Найдите, площадь его поверхности
Ответ. 1922
Ответ. 512
𝑺 куба =𝟔 𝒂 𝟐
𝒅 куба =𝒂 𝟑
⇒𝒂= 𝒅 𝟑 = 𝟑𝟏 𝟑
⇒𝑺 куба =𝟔∙ 𝟑𝟏 𝟐 𝟑
⇒𝑺 куба =𝟐∙𝟗𝟔𝟏=𝟏𝟗𝟐𝟐

Подготовка к ЕГЭ
14.1. Площадь поверхности куба равна 864. Найдите его объём
14.2. Площадь поверхности куба равна 1014. Найдите его объём
Ответ. 1728
Ответ. 2197
𝑺 куба =𝟔 𝒂 𝟐
𝑺 куба =𝟖𝟔𝟒
⇒𝟔 𝒂 𝟐 =𝟖𝟔𝟒
:𝟔
𝒂 𝟐 =𝟏𝟒𝟒
𝒂=𝟏𝟐
𝑽 куба = 𝒂 𝟑
𝑽 куба = 𝟏𝟐 𝟑 =𝟏𝟕𝟐𝟖

Подготовка к ЕГЭ
15.1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 3. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите площадь поверхности параллелепипеда
15.2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 8. Диагональ параллелепипеда равна 17. Найдите площадь поверхности параллелепипеда
Ответ. 192
Ответ. 552
𝟏𝟐
𝟑
𝟏𝟑
𝑺 пов =𝟐 𝒂𝒃+𝒂𝒄+𝒃𝒄
⇒ 𝑺 пов =𝟐 𝟏𝟐∙𝟑+𝟏𝟐∙𝟒+𝟒∙𝟑
𝒅 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐
⇒ 𝟏𝟑 𝟐 = 𝟏𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 + 𝒄 𝟐
⇒ 𝒄 𝟐 = 𝟏𝟑 𝟐 − 𝟏𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐
⇒ 𝒄 𝟐 =𝟏𝟔𝟗−𝟏𝟓𝟑=𝟏𝟔
⇒𝒄=𝟒
⇒ 𝑺 пов =𝟐 𝟑𝟔+𝟒𝟖+𝟏𝟐 =𝟐∙𝟗𝟔=𝟏𝟗𝟐

Подготовка к ЕГЭ
16.1. Объём первого куба в 1728 раз больше объёма второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?
16.2. Объём первого куба в 1331 раз больше объёма второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?
Ответ. 144
Ответ. 121
𝑽 бол.куба 𝑽 куба =𝟏𝟕𝟐𝟖
⇒ 𝑽 б 𝑽 м = 𝒂 б 𝟑 𝒂 м 𝟑 = 𝒂 б 𝒂 м 𝟑 = 𝟏𝟐 𝟑
⇒ 𝒂 б 𝒂 м =𝟏𝟐
𝑺 бол.куба 𝑺 куба = 𝟔 𝒂 б 𝟐 𝟔 𝒂 м 𝟐 = 𝒂 б 𝒂 м 𝟐
⇒ 𝑺 бол.куба 𝑺 куба = 𝟏𝟐 𝟐 =𝟏𝟒𝟒
𝑽 куба = 𝒂 𝟑
𝑺 куба =𝟔 𝒂 𝟐

Подготовка к ЕГЭ
17.1. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑫, 𝑨 𝟏 , 𝑩 𝟏 прямоугольного параллелепипеда 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 , у которого 𝑨𝑩=𝟗, 𝑨𝑫=𝟏𝟎, 𝑨 𝑨 𝟏 =𝟔
17.2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑨 𝟏 , 𝑩 𝟏 , 𝑪 𝟏 прямоугольного параллелепипеда 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 , у которого 𝑨𝑩=𝟕, 𝑨𝑫=𝟓, 𝑨 𝑨 𝟏 =𝟏𝟎
Ответ. 270
Ответ. 175
A
D
C
B
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
𝑫 𝟏
𝑽 тела = 𝟏 𝟐 𝑽 парал
𝑽 тела = 𝟏 𝟐 𝟗∙𝟏𝟎 ∙𝟔 = 𝟏 𝟐 ∙𝟓𝟒𝟎=𝟐𝟕𝟎
𝟗
𝟏𝟎
𝟔

Подготовка к ЕГЭ
18.1. Найдите угол 𝑫 𝑩 𝟏 𝑩 прямоугольного параллелепипеда, для которого 𝑨𝑩=𝟗, 𝑨𝑫=𝟏𝟐, 𝑨 𝑨 𝟏 =𝟏𝟓. Ответ дайте в градусах
18.2. Найдите угол 𝑪 𝑨 𝟏 𝑨 прямоугольного параллелепипеда, для которого 𝑨𝑩=𝟏𝟓, 𝑨𝑫=𝟖, 𝑨 𝑨 𝟏 =𝟏𝟕. Ответ дайте в градусах
Ответ. 45
Ответ. 45
A
D
C
B
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
𝑫 𝟏
𝟗
𝟏𝟐
1𝟓
1) в 𝜟𝑨𝑩𝑫 ∠𝑨=𝟗𝟎°
𝑩𝑫= 𝟗 𝟐 + 𝟏𝟐 𝟐 = 𝟖𝟏+𝟏𝟒𝟒 = 𝟐𝟐𝟓 =𝟏𝟓
2) в 𝜟𝑩𝑫 𝑩 𝟏 ∠𝑩=𝟗𝟎°
𝒕𝒈 ∠𝑫 𝑩 𝟏 𝑩 = 𝑩𝑫 𝑩 𝑩 𝟏
⇒𝒕𝒈 ∠𝑫 𝑩 𝟏 𝑩 = 𝟏𝟓 𝟏𝟓 =𝟏
⇒∠𝑫 𝑩 𝟏 𝑩=𝟒𝟓

Подготовка к ЕГЭ
19.1. В прямоугольном параллелепипеде 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 известно, что 𝑨𝑩=𝟐𝟒, 𝑨𝑫=𝟕, 𝑨 𝑨 𝟏 =𝟐𝟓. Найдите угол 𝑫𝑩 𝑫 𝟏 . Ответ дайте в градусах
19.2. В прямоугольном параллелепипеде 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 известно, что 𝑨𝑩=𝟖, 𝑨𝑫=𝟔, 𝑨 𝑨 𝟏 =𝟏𝟎. Найдите угол 𝑫𝑩 𝑫 𝟏 . Ответ дайте в градусах
Ответ. 45
Ответ. 45
A
D
C
B
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
𝑫 𝟏
𝟐4
𝟕
𝟐𝟓
1) в 𝜟𝑨𝑩𝑫 ∠𝑨=𝟗𝟎°
𝑩𝑫= 𝟕 𝟐 + 𝟐𝟒 𝟐 = 𝟔𝟐𝟓 =𝟐𝟓
2) в 𝜟𝑩𝑫 𝑫 𝟏 ∠ 𝑫 𝟏 =𝟗𝟎°
𝒕𝒈 ∠𝑫𝑩 𝑫 𝟏 = 𝑫 𝑫 𝟏 𝑩𝑫
⇒𝒕𝒈 ∠𝑫𝑩 𝑫 𝟏 = 𝟐𝟓 𝟐𝟓 =𝟏
⇒∠𝑫𝑩 𝑫 𝟏 =𝟒𝟓

Подготовка к ЕГЭ
20.1. В кубе 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 точка 𝑲 – середина ребра 𝑨𝑩, точка 𝑳 – середина ребра 𝑨𝑫, точка 𝑴 – середина ребра 𝑨 𝑨 𝟏 . Найдите угол 𝑴𝑲𝑳. Ответ дайте в градусах
20.2. В кубе 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 точка 𝑲 – середина ребра 𝑪 𝑪 𝟏 , точка 𝑳 – середина ребра 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 , точка 𝑴 – середина ребра 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 . Найдите угол 𝑴𝑲𝑳. Ответ дайте в градусах
Ответ. 60
Ответ. 60
A
D
C
B
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
𝑫 𝟏
K
L
M
1) в 𝜟𝑨 𝑨 𝟏 𝑩 ∠𝑨=𝟗𝟎°
Так как 𝑴𝑲− средняя линия, то
𝑨 𝟏 𝑩= 𝒂 𝟐 + 𝒂 𝟐 =𝒂 𝟐
𝑴𝑲= 𝒂 𝟐 𝟐
2) Так как 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 − куб, то
𝑴𝑲=𝑲𝑳=𝑳𝑴= 𝒂 𝟐 𝟐
⇒𝜟𝑴𝑲𝑳−равносторонний
⇒∠𝑴𝑲𝑳=𝟔𝟎°

Подготовка к ЕГЭ
21.1. В прямоугольном параллелепипеде 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 ребро 𝑨𝑩=𝟐, ребро 𝑨𝑫= 𝟓 , ребро 𝑨 𝑨 𝟏 =𝟐. Точка 𝑲 – середина 𝑩 𝑩 𝟏 . Найдите площадь сечения, проходящего через точки 𝑨 𝟏 , 𝑫 𝟏 и 𝑲
21.2. В прямоугольном параллелепипеде 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 ребро 𝑩𝑪=𝟔, ребро 𝑨𝑩= 𝟑𝟕 , ребро 𝑩 𝑩 𝟏 =𝟐. Точка 𝑲 – середина 𝑪 𝑪 𝟏 . Найдите площадь сечения, проходящего через точки 𝑩 𝟏 , 𝑨 𝟏 и 𝑲
Ответ. 5
Ответ. 37
A
D
C
B
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
𝑫 𝟏
𝟐
𝟐
𝟓
K
𝑲 𝟏
2) в 𝜟 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑲 ∠ 𝑩 𝟏 =𝟗𝟎°
𝑨 𝟏 𝑲= 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟓
3) Так как 𝑨 𝟏 𝑫 𝟏 ⊥ 𝑫𝑪 𝑪 𝟏 , то 𝑨 𝟏 𝑫 𝟏 ⊥ 𝑫 𝟏 𝑲 𝟏
⇒ 𝑨 𝟏 𝑲 𝑲 𝟏 𝑫 𝟏 − прямоугольник
4) 𝑺 сеч = 𝑺 прямоуг = 𝟓 ∙ 𝟓 =𝟓