Презентация по ЕН.01 "Дифференциональные уравнения"

ГБПОУ « Новоазовский индустриальный техникум»
ДИСЦИПЛИНА ЕН.01 Математика
ТЕМА Дифференциальные уравнения







Подготовила преподаватель математики
«НИТ» ФЕСЕНКО О.В.

Рассмотрим задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Задача №1
Найти закон движения точки, если её скорость задается
Решение:

Задача №2
Составить уравнение кривой, проходящей через
точку А(2;5), если угловой коэффициент касательной
равен 2x

Решение:

В предыдущих задачах решались уравнения, содержащие производные.
Это и есть дифференциальные уравнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое связывает между собой переменную , искомую функцию и её производные или дифференциалы

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала) входящего в данное уравнение

Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество

Различают общее и частное решения дифференциальных уравнений


Общее решение – содержит произвольные постоянные (по числу порядка)

Если из множества общих решений вычисляется значение С, то получим частное решение (говорят, что решает
задача Коши)

Условия, задающие значения функции в фиксированной точке называются
начальными условиями (условиями Коши):
Задача решения уравнения

удовлетворяющего условию

называется задачей Коши
В некоторых случаях, если условия теоремы Коши не выполнены, через точку вообще не проходит интегральная кривая, или их проходит несколько.
Такие точки называются особыми точками дифференциального уравнения… .

ТЕОРЕМА КОШИ
(о существовании и единственности решения ДУ)
Пусть дано ДУ

Если функция f (x,y) и ее частная производная f´(x,y) непрерывны в некоторой области D плоскости xy, то в некоторой окрестности любой внутренней точки (х0,у0) этой области существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющего условию х=х0, у=у0.

Отличия алгебраического уравнения от дифференциального:
1)Алгебраическое уравнение – это зависимость между
Дифференциальное –выражает соотношение между
2)Решением алгебраического уравнения является число
Решением дифференциального уравнения является функция
3)Дифференциальное уравнение решается интегрированием

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.
К ним относят:
1. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка:
y’ =f(x) ;
2.  Уравнения с разделяющимися переменными:
y’= f (y / x) ;
3. Однородные уравнения первого порядка:
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка:
y’+a (x) y= f (x) ;
f(x, y)= p(x) h(y) ;
называется ДУ первого порядка.
где х – независимая переменная;
у – неизвестная функция;
у´ – ее производная.

Если из уравнения можно выразить производную неизвестной функции, то оно примет вид:
Это уравнение называется ДУ первого порядка,
решенным относительно первой производной
Например:

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными
Общий вид первого порядка:
1)Если дифференциальное уравнение

можно привести к виду
уравнение с разделенными переменными
Пример:

Алгоритм решения дифференциальных уравнения с разделяющими переменными
1)Производную записать через дифференциальные уравнения
2)Члены уравнения с одинаковыми дифференциальными уравнениями перенести
3)Разделить переменные
4) Проинтегрировать обе части, найти общее решение
5)Если задана задача Коши, найти частное решение

Решить уравнение

при х=4 и t=0, С=4, т. о. закон движения имеет вид:
х= t2+t3+4
Задача
Найти закон движения тела по оси ОХ, если оно начало двигаться из точки М (4; 0) со скоростью v=2t+3t2
Решение.
Известно, что v = x ´(t)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Из предложенных дифференциальных уравнений выбрать любые три и найти их общее и частное решение

Решить дифференциальные уравнения, найти частные решения:

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Какое уравнение называется дифференциальным?
Что называется решением дифференциального уравнения?
Какое решение дифференциального уравнения называется общим?
Какое решение дифференциального уравнения называется частным?
Какие данные называются начальными?
Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями первого порядка?
По какому алгоритму находятся решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными?

Список используемой литературы:
http://www.math24.ru/уравнения в полных дифференциалах.html
http://www.math24.ru/уравнения с разделяющимися переменными.html
http://mathprofi.ru/odnorodnye diffury pervogo poryadka.html
http://mathprofi.ru/differencialnye uravnenija primery reshenii.html
https://ru.wikipedia.org/wiki/ Однородное дифференциальное уравнение
http://www.cleverstudents.ru/differential equations/differential equations.html
google.com.ua/