Презентация по математике на тему "Метод интегрирования по - частям" (2 курс СПО)

«по частям»
Метод интегрирования
Учебная презентация по математике
для студентов 2 курса СПО
ГБПОУ «Кунгурский сельскохозяйственный колледж»
Решение неопределённых интегралов

Цель: сформировать понятие метода интегрирования «по частям» и умение применять данный метод при вычислении интегралов

Первообразная

Интегральное исчисление
Раздел математики, в котором изучаются свойства
и способы вычисления интегралов
решает задачу обратную дифференцированию
И. Ньютон
Г.В. Лейбниц
Функция 𝑭 𝒙 является первообразной для функции 𝒇(𝒙) в промежутке 𝒂≤𝒙≤𝒃, если в любой точке этого промежутка её производная равна 𝒇(𝒙)
𝒅𝑭 𝒙 =𝒇 𝒙 𝒅𝒙,
𝒂≤𝒙≤𝒃,
 
 
Неопределённый интеграл
Неопределенным интегралом от 𝒇(𝒙)
называется совокупность всех первообразных вида F(x)+С
 
(x) – подынтегральная функция,
f(x)dx – подынтегральное выражение

Определённый интеграл

f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение,
a – нижний предел интегрирования
b – верхний предел интегрирования
Формула Ньютона – Лейбница
Методы вычисления
Непосредственного интегрирования
Замены переменной
«По-частям»
Основатели
математического анализа

Основными методами интегрирования являются:

непосредственное интегрирование,
интегрирование заменой переменной
Интегрирование «по - частям»

Интегрирование «по-частям»

Формула интегрирования «по- частям» имеет вид:
𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣− 𝑣𝑑𝑢

Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы

Это метод для решения интегралов от произведения двух элементарных функций

Интегрирование «по-частям»

Данный метод интегрирования основан на тождестве:
d(uv) = udv +vdu udv=d(uv) - vdu
где u = f(x) и v = g(x) - две функции, имеющие на данном промежутке производные
Взяв интеграл от обеих частей данного тождества, будем иметь:
𝑢𝑑𝑣= 𝑑 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢

Интегрирование «по-частям»

𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣− 𝑣𝑑𝑢
Эта формула используется, если подынтегральное выражение можно представить в виде произведения сомножителей u и dv и получившийся интеграл
𝑣𝑑𝑢 вычислить проще, чем исходный 𝑢 𝑑𝑣
При этом за u берется та функция, которая при дифференцировании упростится, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен.

Интегрирование «по - частям»

𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣− 𝑣𝑑𝑢
Основываясь на этом разбиении,
находятся функция v и дифференциал du
Далее, используется формула интегрирования по частям:


Метод интегрирования по частям может применяться несколько раз, пока неопределенный интеграл не будет найден

Пример 1
Найти интеграл 𝑥 𝑒 𝑥 dx
20.12.2022
Решение:
Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании становится равной единице, а другая легко интегрируется
Пусть u = x dv = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
du=dx v = 𝑒 𝑥

Подставляем найденные значения в формулу интегрирования «по - частям» и получаем

𝑥 𝑒 𝑥 dx = x 𝑒 𝑥 - 𝑒 𝑥 dx = x 𝑒 𝑥 - 𝑒 𝑥 + C

Пример 2
Найти интеграл
20.12.2022
Решение:
Здесь за u удобнее взять x, а за dv - оставшуюся часть подынтегрального выражения: sinxdx
Пусть u = x dv = sin x dx
du=dx v = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = – cosx
Подставляем найденные значения в формулу интегрирования «по- частям» и получаем

𝑥 sin 𝑥 dx = x(- cos x)- (– cosx )dx = -x cos x+ sin x +C

𝑥 sin 𝑥 dx

Пример3
Найти интеграл
Решение:
Здесь за u удобнее взять 𝑥 2 , а за dv - оставшуюся часть подынтегрального выражения: 𝑒 𝑥 dx
Пусть u = 𝑥 2 dv = 𝑒 𝑥 dx
du=2xdx v = 𝑒 𝑥 dx = 𝑒 𝑥
Подставляем найденные значения в формулу интегрирования «по- частям» и получаем

𝑥 2 𝑒 𝑥 dx = 𝑥 2 𝑒 𝑥 - 𝑒 𝑥 2xdx

𝑥 2 𝑒 𝑥 dx

Полученный интеграл 𝑒 𝑥 2xdx тоже вычисляется с помощью формулы интегрирования «по – частям»
u= x dv=2 𝑒 𝑥 dx
du=dx v=2 𝑒 𝑥 dx
v = 2 𝑒 𝑥 +C
𝑒 𝑥 2xdx = 2x 𝑒 𝑥 - 2𝑒 𝑥 dx= 2x 𝑒 𝑥 -2 𝑒 𝑥 +C
Итак,

𝑥 2 𝑒 𝑥 dx = 𝑥 2 𝑒 𝑥 - 𝑒 𝑥 2xdx= 𝑥 2 𝑒 𝑥 -2x 𝑒 𝑥 +2 𝑒 𝑥 +C

du= ∫dv=
u= dv=
Решить самостоятельно
Найти интеграл: 𝑥+1 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=
X+1
cosXdx
dx
= 𝑥+1 sinx− sinxd𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
v =
Sinx+С
Подставим полученные значения в формулу интегрирования «по – частям» получим:
𝑥+1 sinx + cosx + C
Ответ: 𝑥+1 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥= 𝑥+1 sinx + cosx + C

𝑥 2 2 +C
𝑑𝑥 𝑥 2 +1
du= ∫dv=
u= dv=
Решить самостоятельно
Найти интеграл: 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥=
arctgx
= 𝑥 2 2 arctgx− 𝑥 2 𝑑𝑥 2(𝑥 2 +1) =
𝑥𝑑𝑥
v =
Подставим полученные значения в формулу интегрирования «по – частям» получим:
𝑥 2 2 arctgx - 1 2 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 +1 =
xdx

Решить самостоятельно
Ответ: 𝑥 2 2 arctgx − 𝑥 2 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 2 +C
𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 +1 = (1 - 1 𝑥 2 +1 )dx = 𝑑𝑥− 1 𝑥 2 +1 𝑑𝑥=𝑥−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥+𝐶
= 𝑥 2 2 arctgx - 1 2 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 +1 = 𝑥 2 2 arctgx - 1 2 (𝑥−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)+𝐶=

Вычислить интегралы методом интегрирования- «по частям»
20.12.2022
2 вариант

𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥=

2. 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥=

3. 𝑥 2 cos 𝑥 𝑑𝑥=

1 вариант

𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥=

2. 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥=

3. 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥=

Проверка
2 вариант

𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥= 𝑥 2 2 ln|x| - 𝑥 2 4 +C

2. 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥= −𝑥 cos 𝑥+ sin 𝑥 +C

3. 𝑥 2 cos 𝑥 𝑑𝑥= 𝑥 2 sin 𝑥 + 2x cos 𝑥 − −2 sin 𝑥 + C

1 вариант

𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥= x ln|x| – x + C

2. 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥= 𝑥 sin 𝑥+ cos 𝑥 +C

3. 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥= – 𝑥 2 cos 𝑥 +
+2x sin 𝑥 + 2 cos 𝑥 + C

Использованная литература:

Богомолов, Н. В.  Математика. Задачи с решениями в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для среднего профессионального образования / Н. В. Богомолов. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 439 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-09108-3. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт].