Методическая разработка "Электронный справочник по алгебре и началам анализа". (8 класс).

Электронный
справочник
курса алгебры и началам математического анализа.

Логарифмы, логарифмическая функция, уравнения, неравенства
Определенный интеграл
Первообразная функции и неопределенный интеграл
Применение производной функции
Производная
Степенные функции
Тригонометрические неравенства
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические формулы
Тригонометрические функции
Функции
Функция корня n-й степени, иррациональные уравнения и неравенства
Показательная функция, уравнения, неравенства

Логарифмы. Свойства логарифмов.
Логарифмическая функция.
Свойства логарифмической функции.
Простейшие логарифмические уравнения.
Простейшие логарифмические неравенства.
главная

Логарифмы. Свойства логарифмов.
a> 0, a≠1 , b> 0

Логарифмическая функция.
y=logax, где a> 0, a≠1
y
x
a>1
1
a<1

Свойства логарифмической функции.

Простейшие логарифмические уравнения.

Простейшие логарифмические неравенства.

Определенный интеграл
Основные свойства определенного интеграла
Криволинейная трапеция
Площадь криволинейной трапеции
(формула Ньютона-Лейбница)
Геометрический смысл определенного интеграла
Физический смысл определенного интеграла
Вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла
главная

Определенный интеграл

Основные свойства определенного интеграла

Криволинейная трапеция
Пусть на отрезке [a;b]  оси ОХ задана непрерывная функция  f (х), не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [a;b] и прямыми  x = a и x =  b, называют криволинейной трапецией.
Различные примеры криволинейных трапеций приведены на рис. 1, а — д.

Площадь криволинейной трапеции
(формула Ньютона-Лейбница)
Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется формула Ньютона-Лейбница:
если F (х) — первообразная на отрезке [а; b], то
F(b) - F(a)

1) Случай, когда f (x) > 0 на [а, b]

S =
F(b)-F(a) , где f(x)>0 на [a,b]
2) Возможен следующий случай, когда f (x) < 0 на [а, b]

S= -
F(a)-F(b)
3) График y = f (x) может пересекать ось ОХ, допустим, в точке С
S =S1 + S2 =
[a,b]
Геометрический смысл определенного интеграла

Физический смысл определенного интеграла
При прямом движении перемещение s
численно равно площади криволинейной трапеции
под графиком зависимости ν от времени t:

Вычисление площадей и объемов
с помощью определенного интеграла
Объем тела
Площадь фигуры

Первообразная функции.
Основное свойство первообразных.
Неопределенный интеграл.
Правила интегрирования.
Первообразная элементарных функций.
Правила вычисления первообразной функции
Таблица интегралов.
главная

Первообразная функции.
Функция F (x) называется первообразной для функции f(x) на данном промежутке, если для любого x из этого промежутка
Основное свойство первообразных.

Правила вычисления первообразной функции.

Первообразная элементарных функций.

Неопределенный интеграл.
Совокупность всех первообразных данной функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается

∫f(x) dx = F(x) + C, где С – произвольная постоянная.

Правила интегрирования.
∫cf(x)dx = c ∫f(x)dx, где с - const
∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x) dx + ∫g(x)dx
∫(f(x) - g(x))dx = ∫f(x) dx - ∫g(x)dx
∫f(ax + b)dx = , где а=0

Таблица интегралов.

Показательная функция
Свойства показательной функции
Простейшие показательные уравнения
Простейшие показательные неравенства
главная

Показательная функция
Замечание:

Свойства показательной функции

Простейшие показательные уравнения

Простейшие показательные неравенства

Монотонность функции
Экстремумы функции
Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке
Примеры экстремумов функции
главная

Монотонность функции

Экстремумы функции
Необходимое условие экстремума:
Достаточное условие экстремума:

Примеры экстремумов функции

Наибольшее и наименьшее значения функции,
непрерывной на отрезке

Производная функции
Геометрический смысл производной функции
Физический смысл производной функции
Уравнение касательной
Правила дифференцирования и производная сложной функции

Производные элементарных функций
главная

Производная функции
Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции ∆f=f(x0+ ∆x)-f(x0) к приращению аргумента ∆x при ∆x 0, если этот предел существует:
f(x0 + ∆x) – f(x0)
f΄(x0) = lim ∆x




∆x 0

Геометрический смысл производной функции

Физический смысл производной функции

Уравнение касательной

Правила дифференцирования
Производная сложной функции

Производные элементарных функций

Степенные функции с натуральными показателями степени
Степенные функции с целыми отрицательными показателями
степени
Степенные функции с действительными показателями степени
свойства функции
свойства функции
свойства функции
главная

Степенные функции с натуральными показателями степени

Свойства функции
Замечание: при n=0 функция y=xn определяется так:
x0=1 при x=0 ; при x=0 функция не определена.

Степенные функции
с целыми отрицательными показателями степени

Свойства функции
Замечание: при n=1 функция y=x-n имеет вид y=1/x и называется обратной пропорциональностью.

Степенные функции
с действительными показателями степени

Свойства функции

sin x > a; sin x ≥ a; sin x < a; sin x ≤ a
cos x > a; cos x ≥ a; cos x < a; cos x ≤ a
tg x > a; tg x ≥ a; tg x < a; tg x ≤ a
ctg x > a; ctg x ≥ a; ctg x < a; ctg x ≤ a
главная

sin x > a; sin x ≥ a; sin x < a; sin x ≤ a

cos x > a; cos x ≥ a; cos x < a; cos x ≤ a

tg x > a; tg x ≥ a; tg x < a; tg x ≤ a

ctg x > a; ctg x ≥ a; ctg x < a; ctg x ≤ a

Формулы двойного угла
Формулы половинного аргумента
Формулы обратных тригонометрических функций
Формулы произведения функций
Формулы суммы аргументов
Формулы тройных углов
Формулы понижения степени
Основное тригонометрическое тождество и следствия из него
Универсальная тригонометрическая подстановка
главная

Основное тригонометрическое тождество и следствия из него

Формулы двойного аргумента

Формулы половинного аргумента

Формулы обратных тригонометрических функций

Формулы произведения функций

Формулы суммы аргументов

Формулы тройных углов

Формулы понижения степени

Универсальная тригонометрическая подстановка

Уравнение cos x = a
Уравнение sinx =a
Уравнение tg х = а
Уравнение сtg х = а
главная

Уравнение СОS х =а

Уравнение sin х = а

Уравнение tg х = а

Уравнение сtg х = а

Графики тригонометрических функций:
Синус
Свойства синуса и косинуса
Свойства тангенса и котангенса
Связь между тригонометрическими функциями
одного аргумента
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Обратные тригонометрические функции
Определение тригонометрических функций:
Синус и косинус
Тангенс и котангенс
Тангенс и котангенс
Косинус
главная

Определение тригонометрических функций
t
sin t
у
х
cos t
М(t)
Функция косинус — это функция, которая ставит в соответствие каждому числу t абсциссу точки М(t) координатной окружности.



то х = cos t, у = sin t



Запись М(t) показывает положение точки М на координатной окружности,
а запись М(cos t; sin t) – положение той же точки на координатной плоскости.

Функция синус— это функция, которая ставит в соответствие каждому числу t ординату точки М(t) координатной окружности.

Если М(t) = М(х; у),
Таким образом,

М(t) = М(cos t; sin t)

Функция тангенс—это частное от деления функции синус на функцию косинус.

Функция котангенс —это частное от деления функции косинус на функцию синус.



Поскольку деление на нуль невозможно, функции tg t и ctg t определены не для всех значений аргумента. Тангенс определен лишь для значений аргумента, при которых cos t  0, котангенс определен при sin t  0:

Графики тригонометрических функций

у = sin x синусоида
у
х

2
–
1
–1
–2

у
х

2
–
1
–1
–2

у = cos x косинусоида

у
х

–
–2
–1
1
2
у
х

–1
–2
1
2
у = tg x у = ctg x
тангенсоида котангенсоида

Свойства синуса и косинуса

Свойства тангенса и котангенса

Обратные тригонометрические функции

Связь между тригонометрическими функциями
одного аргумента

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Функции
Четность и нечетность
Периодичность
Монотонность
Экстремумы
Асимптоты
Обратные функции
Преобразование графиков функции
Нули функции
Свойства элементарных функций
главная

Функции

Четность и нечетность

Периодичность

Нули функции

Монотонность

Экстремумы

Асимптоты

Обратные функции
Нахождение формулы для функции, обратной данной:

Пользуясь формулой y=f(x), следует выразить x через y, а
в полученной формуле x=g(y) заменить x на y, а y на x.

Преобразование графиков функции

Свойства элементарных функций

Функция y= .
свойства функции
Иррациональные уравнения.
Иррациональные неравенства.
главная

Функция y= .

Свойства функции

Как правило иррациональное уравнение сводиться к равносильной системе,
содержащей уравнения и неравенства.
Замечание. Из двух систем выбирают ту, которая решается проще.
Иррациональные уравнения.

Иррациональные неравенства.
Как правило иррациональное неравенство сводиться
к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств.