Вероятность и статистика 7 класс. Свойства медианы. Устойчивость медианы.pptx

Свойства медианы. Устойчивость медианы.
7 классУрок 12
Описательная статистика
07.01.2023

2
Повторение
1. Как вы думаете, почему объем экспорта считается не по календарным годам, а по концу года – началу следующего (как учебные годы). Что, например, означает экспорт в 2009/2010 г?
2. Чем может объясняться резкое падение экспорта зерна в 2010/2011 году?
3. Какая тенденция наблюдается в последние 6 лет? Придумайте правдоподобное объяснение.
4. Можно ли оценить эту тенденцию количественно – каков примерный средний ежегодный прирост экспорта за последние 6 лет?
На столбиковой диаграмме показаны данные об экспорте зерна из России с 2008 года (для 2018 года сделаны прогнозы 40– 43,1 млн т). Рассмотрите диаграмму и выполните задания (устно).

3
Определение и свойства медианы
Если чисел в наборе нечетное количество, то медиана – серединное число в упорядоченном ряду чисел.
Если чисел четное количество, то медиана – любое из двух серединных чисел или любое число между ними.
Пример 1. Дан числовой набор
1, 7, 1, 3, 1, 4, -3, 0, 1, -2, 5, -1.
Проверьте, пользуясь определением, является ли медианой этого набора
а) число 1; б) число 0?
Таким образом, в данном наборе восемь чисел, которые не больше
числа 1, и восемь чисел, которые не меньше числа 1. Определение медианы выполнено. Значит, 1 – медиана данного набора.
a)
б)
Чисел, которые не больше числа 0, слишком мало: 4 < 6 . Поэтому 0 не является медианой данного набора по определению.

Пример 2. Дан числовой набор 3, 2, 2, 7, 4, 1, 5, 4.
Проверьте, пользуясь определением, является ли медианой этого набора число:
а) 2; б) 3; в) 4; г) 3,22.

4

Пример 3. На протяжении суток каждые 3 часа записывали результат измерения температуры воздуха (в градусах Цельсия).
Табл. 1. Измерения температуры, ֯C

5
Некоторые свойства медианы.
Медиана, так же, как и среднее арифметическое, «двигается» и «сжимается» вместе со всем набором данных.
а) Найдите медиану этих данных.
б) Предположим, для публикации в канадском журнале эти данные нужно перевести в шкалу Фаренгейта. Для перевода температуры в градусах Цельсия в градусы Фаренгейта используется формула: T ֯F = 1,8 T ֯C + 32 .
Можно ли найти медиану в шкале Фаренгейта, не переводя в шкалу Фаренгейта все девять измерений? Найдите медиану в ֯F .
Ответ: а) 18֯C; б) 64, 4֯F.

Пример 4. Предположим, что в числовом наборе 10 чисел. Мы помним, что если увеличивать или уменьшать одно число набора (двигать его), то среднее арифметическое будет двигаться в ту же сторону, но в 10 раз медленнее. А как поведет себя медиана? Проще всего разобраться в этом на примере. Рассмотрим набор из первых 10 натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Среднее арифметическое и медиана совпадают. Они равны 5,5.
а) Увеличим последнее число на 10, а потом еще на 100. Как изменятся среднее и медиана?
б) Увеличим первое число на 10, а потом еще на 100. Как изменится среднее и медиана в этом случае?

6
Устойчивость медианы к выбросам

7
Решение. а) Если увеличить последнее число 10 на 10, то среднее арифметическое увеличится на 1 и станет равным 6,5.
А медиана останется прежней (5,5): она зависит только от двух серединных чисел 5 и 6, которые не изменялись.
Если увеличить последнее число еще на 100, то среднее арифметическое вырастет еще на 10 и теперь будет 16,5.
Медиана и в этом случае не изменится.
б) Увеличим теперь первое число 1 на 10. Получится 11. Среднее вырастет на 1 и станет равно 6,5. Так как вариационный ряд теперь изменился, медиана изменилась тоже. Серединными числами нового набора
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
являются не числа 5 и 6, как прежде, а числа 6 и 7. Следовательно, медиана теперь тоже равна 6,5. Но дальнейшее увеличение первого числа уже не изменит медиану.
Если теперь первое число увеличить еще на 100, получится набор
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 111,
где среднее стало равно 6,5 +10 =16,5, а медиана уже больше не изменилась. Она равна 6,5.

Пример 4. Предположим, что в числовом наборе 10 чисел. Мы помним, что если увеличивать или уменьшать одно число набора (двигать его), то среднее арифметическое будет двигаться в ту же сторону, но в 10 раз медленнее. А как поведет себя медиана? Проще всего разобраться в этом на примере. Рассмотрим набор из первых 10 натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Среднее арифметическое и медиана совпадают. Они равны 5,5.
а) Увеличим последнее число на 10, а потом еще на 100. Как изменятся среднее и медиана?
б) Увеличим первое число на 10, а потом еще на 100. Как изменится среднее и медиана в этом случае?

8
Устойчивость медианы к выбросам

Вывод: один выброс может повлиять на медиану, но влияние это слабое. Сильно «сдвинуть» медиану с места одно «гуляющее» значение набора не может.
Это свойство называют устойчивостью медианы по отношению к выбросам. Именно это свойство делает медиану очень полезной мерой центра в современной статистике.

9

Медианный представитель
Найти медиану данных о площади поверхности десяти крупнейших озер мира.
Табл. 2. Площадь водной поверхности крупнейших озер мира (кв.км)

10
Медиана равна 54450 кв.км. Мы назвали медианными представителями озеро Мичиган и Аральское море, поскольку их площади близки к медиане.
Пример 5. В таблице 3 даны высоты крупнейших вулканов Срединного вулканического пояса Камчатки. Найдите медиану данных о высотах и медианного представителя (или медианных представителей). Подумайте, как можно разумно сформулировать правило или правила для выбора медианного представителя по высоте в данном случае.

Табл.3. Высоты вулканов СВП Камчатки, м над уровнем моря

11

Домашнее задание
Изучить §14 с.60-63,
ответить на вопросы1-6,
Выполнить см. приложение.
07.01.2023
12

Спасибо за урок!
До встречи на следующем!
07.01.2023
13