Презентация на тему "Перпендикулярность плоскостей. Признак перпендикулярности плоскостей"

Перпендикулярность плоскостей.
Признак перпендикулярности плоскостей

Геометрия – это…
наука о свойствах геометрических фигур

Стереометрия-это…
раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.

Перпендикулярность плоскостей
Если угол между пересекающимися плоскостями равен 90 градусом, то плоскости перпендикулярны.
Если φ – тот из четырех углов, который не превосходит каждого из остальных, то говорят, что угол между пересекающимися плоскостями равен φ. Очевидно, что угол φ лежит в промежутке от 0° до 90°.

Определение
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен девяносто градусов.

Признак перпендикулярности плоскостей
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Доказательство :
Пусть даны плоскости α и β. Причем такие, что плоскость альфа проходит через прямую а, перпендикулярную к плоскости β. Докажем, что плоскости α и β перпендикулярны. Пусть точка О – точка пересечения прямой а с плоскостью β. Точка О – общая точка плоскостей α и β, следовательно, данные плоскости пересекаются по прямой l(эль), проходящей через точку О.В плоскости β через точку О проведем прямую b, перпендикулярную прямой l. Прямые b и l лежат в плоскости β и по условию прямая а перпендикулярна плоскости β. Следовательно, прямая а перпендикулярна прямой b и прямая а перпендикулярна прямой l. Таким образом, получаем, что прямая а лежит в плоскости α, перпендикулярна прямой l и прямая b лежит в плоскости β перпендикулярно прямой l. Значит, угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми а и b и равен 90°. Т.е. получили, что плоскости α и β перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

1 Следствие :
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Доказательство :
Пусть даны две перпендикулярные плоскости α и β, которые пересекаются по прямой l. И дана плоскость γ, которая перпендикулярна линии пересечения плоскостей α и β, т.е. перпендикулярна прямой l. Докажем, что каждая из плоскостей α и β перпендикулярна плоскости γ.
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α  проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны. Прямая  l  перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны. Таким образом, получаем, что плоскость α  перпендикулярна плоскости γ  и плоскость β перпендикулярна плоскости γ. Ч.т.д.

2 Следтсвие
Прямая, проведенная в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

Доказательство :
Пусть даны две перпендикулярные плоскости α и β, которые пересекаются по прямой l. И дана прямая b, которая лежит в плоскости β и перпендикулярна линии пересечения плоскостей α и β, т.е. перпендикулярна прямой l. Докажем, что прямая b перпендикулярна плоскости α. Обозначим буквой О точку пересечения прямой b с прямой l(эль). Затем проведем в плоскости α через точку О прямую а перпендикулярно прямой l. Прямые а и b перпендикулярны прямой l, по которой пересекаются плоскости α и β. Следовательно, угол между прямыми а и b равен углу между плоскостями α и β. Значит, равен 90°.Таким образом, прямая b перпендикулярна пересекающимся прямым а и l плоскости α. Следовательно, прямая b перпендикулярна плоскости α.

Задача
Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой c. Докажите , что любая прямая плоскости α, перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости β.

Решение
Проведем в плоскости α произвольную прямую АС, перпендикулярную к прямой с, С принадлежит с. Докажем, что СА перпендикулярна β. В плоскости β через точку С проведем прямую СВ, перпендикулярную к прямой с. Т.к. СА перпендикулярна с, то угол АСВ-линейный угол одного из двугранных углов, образованных плоскостями α и β. По условию задачи α перпендикулярна β, поэтому угол АСВ-прямой, т.е. СА перпендикулярна СВ .Таким образом , прямая СА перпендикулярна к двум пересекающимся прямым с и СВ плоскости β , поэтому СА перпендикулярна β.

Задача
Прямая а не перпендикулярна к плоскости α. Докажите , что существует плоскость , проходящая через прямую а и перпендикулярная к плоскости α.
Решение: Через произвольную точку М прямой а проведем прямую р, перпендикулярную к плоскости α, и рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые а и р. Плоскость β искомая, т. к. она проходит через прямую а и по признаку перпендикулярности двух плоскостей перпендикулярна к плоскости α.