Квадратичная функция на ОГЭ и ЕГЭ. Подготовка учащихся.

Квадратичная функция
Гордеева Марина Эвальдовна, учитель математики
МБОУ «Космодемьянская СОШ»

Функция вида


Называется квадратичной функцией


Этапы изучения квадратичной функции
1 этап 𝑦= 𝑥 2
2 этап 𝑦=𝑎 𝑥 2
3 этап 𝑦=𝑎 𝑥−𝑚 2
4 этап 𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑛
5 этап
𝑦=𝑎 𝑥−𝑚 2 +𝑛
𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐, 𝑎≠0

Геометрический смысл коэффициента а.
Наибольшее и наименьшее значение функции равно нулю при х = 0.
Симметричность графика квадратичной функции.
Построение графиков функций 𝑦= 𝑥 2 , 𝑦= −𝑥 2 , 𝑦= 2𝑥 2 , 𝑦= 1 2 𝑥 2 , 𝑦= 3𝑥 2 . Таблицу значений составляем, учим строить по клеточкам до автоматизма.


1 этап 𝑦= 𝑥 2
7-8 класс

1) Ветви параболы направлены вверх.
Чему равно наименьшее значение функции? у = 0.
При каком значении х? При х = m.
Если ветви направлены вверх, то наименьшее значение функции достигается в вершине. Назовите координаты вершины.

2) Ветви параболы направлены вниз.
Чему равно наибольшее значение функции? у = 0.
При каком значении х? При х = m.
Если ветви направлены вниз, то наибольшее значение функции достигается в вершине. Назовите координаты вершины.
Назовите координаты вершин парабол 𝑦= (𝑥−3) 2 , 𝑦= −(𝑥+5) 2 , 𝑦= 2(𝑥−1) 2 , 𝑦= 1 2 (𝑥+6) 2 , 𝑦= 3(𝑥−4) 2 .
3) Назовите оси симметрии графиков функций.

8-9 класс
3 этап 𝑦=𝑎 𝑥−𝑚 2
Не сообщаем, а спрашиваем.

1) Ветви параболы направлены вверх.
Чему равно наименьшее значение функции? у = n.
При каком значении х? При х = 0.
Если ветви направлены вверх, то наименьшее значение функции достигается в вершине. Назовите координаты вершины.

2) Ветви параболы направлены вниз.
Чему равно наибольшее значение функции? у = n.
При каком значении х? При х = 0.
Если ветви направлены вниз, то наибольшее значение функции достигается в вершине. Назовите координаты вершины.
Назовите координаты вершин парабол𝑦= 𝑥 2 +4, 𝑦= −𝑥 2 −3, 𝑦= 2𝑥 2 −1, 𝑦= 1 2 𝑥 2 +5, 𝑦= 3𝑥 2 −2.

8-9 класс
Не сообщаем, а спрашиваем.
4 этап 𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑛

1)Решаем задачи на построение графиков и на задание формулой графиков функций.
2) Параболы с целочисленными координатами строим по клеточкам, с «плохими» – по координатам.
3) Открываем с учащимися алгоритм построения: направление ветвей, координаты вершины, ось симметрии, преобразования.
4) Оформляем

9 класс
Много строим.
5 этап
𝑦=𝑎 𝑥−𝑚 2 +𝑛

1)Постановка проблемы. Как построить график функции
2) Выделяем полный квадрат сначала для конкретных функций, потом в общем виде. Открываем формулы координат вершины параболы!
3) Открываем с учащимися алгоритм построения: направление ветвей, координаты вершины, ось симметрии, преобразования.

9 класс
Плюс минус половинка
второго коэффициента
в квадрате
𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐
𝑦= 𝑥 2 +2𝑥−3?
𝑦=𝑥 2 +2𝑥−3
𝑦=𝑥 2 +2𝑥+1−1−3
𝑦=(𝑥+1) 2 −4
𝑦=2𝑥 2 −2𝑥−3
𝑦=2(𝑥 2 −𝑥− 3 2 )
Плюс минус половинка
второго коэффициента
в квадрате
𝑦=2(𝑥 2 −𝑥+ 1 4 − 1 4 − 3 2 )
𝑦=2((𝑥− 1 2 ) 2 − 7 4 )
𝑦=2(𝑥− 1 2 ) 2 − 7 2
𝑦=𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐
𝑦=𝑎(𝑥 2 + 𝑏 𝑎 𝑥+ 𝑐 𝑎 )
𝑦=𝑎(𝑥 2 + 𝑏 𝑎 𝑥+ 𝑏 2 4 𝑎 2 − 𝑏 2 4 𝑎 2 + 𝑐 𝑎 )
𝑦=𝑎((𝑥+ 𝑏 2𝑎 ) 2 − 𝑏 2 4 𝑎 2 + 𝑐 𝑎 )
𝑦=𝑎(𝑥+ 𝑏 2𝑎 ) 2 − 𝐷 4𝑎
𝑂(−1;−4)
𝑂(0,5;−3,5)
𝑂(− 𝑏 2𝑎 ;− 𝐷 4𝑎 )

При построении параболы должны быть указаны:
Направление ветвей;
Вершина: 𝑥 0 =− 𝑏 2а , 𝑦 0 =𝑓 𝑥 0
Ось симметрии: 𝑥=𝑥 0
Учитывая п.3 построение может быть выполнено с помощью:
Графиком квадратичной функции является парабола
б) геометрических преобразований:
например,
−1


−4
Ox
Oy
а) таблицы значений функции с учетом оси симметрии!
𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐

Построение графика квадратичной функции, записанной в виде

удобно выполнять используя преобразования
Хорошо считываются координаты вершины 𝑚:𝑛 ,
Координаты вершины – это центр «новой» системы координат, в которой строим график функции


Построение с помощью преобразований:
𝑦= 𝑥 2 ох +3 𝑦= 𝑥−3 2 оу −5 𝑦= 𝑥−3 2 −5


𝑦=𝑎 𝑥−𝑚 2 +𝑛
.
𝑦=𝑎 𝑥 2
𝑦= 𝑥−3 2 −5
Например, построим график функции 𝑦= 𝑥−3 2 −5

ПРИ ПОСТРОЕНИИ ПАРАБОЛЫ ОБЯЗАТЕЛЬНО УЧИТЫВАЕМ ЕЁ СИММЕТРИЧНОСТЬ. ОСЬ СИММЕТРИИ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫ
Таблица значений функции с учетом оси симметрии содержит Два-три значения ПЕРЕМЕННОЙ x, КОТОРЫЕ НАХОДЯТСЯ ПО ОДНУ СТОРОНУ ОТ оси симметрии ПАРАБОЛЫ.
Выполняя построение графика, отмечаем данные точки и строим им симметричные ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ СИММЕТРИИ Параболы
(4;–4) КООРДИНАТЫ ВЕРШИНЫ ПАРАБОЛЫ

ОСЬ СИММЕТРИИ ПАРАБОЛЫ – ПРЯМАЯ x = m
x = 4
𝑦= 𝑥−4 2 −4
𝑦= 𝑥−4 2 −4

Построение графиков в задачах ОГЭ
Решение:
1) D(y): х ≠ 0; х ≠ 1
2) у =


у = ;


3) Исходная функция сводится к функции с выколотыми точками (0;-2) и (1;-3). Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, вершина находится в точке с координатами (0; -2).
𝑦=− 𝑥 2 𝑂𝑦 −2 𝑦=− 𝑥 2 −2
Обязательно прорисуем выколотые точки и укажем их координаты на графике.
Задача.

4)

Построение графиков в задачах ОГЭ
Решение:
1) D(y): х ≠ – 1, х ≠ – 4
2) у =
у =
3) Графиком исходной функции будет график функции 6 с выколотыми точками (–1; –6), (–4;6)
𝑦= 𝑥 2 +𝑥−6
𝑦= 𝑥 2 +𝑥−
Задача.

Представим формулу задания функции в виде полного квадрата:

Значит, координаты вершины (− 1 2 ; − 25 4 ).
Учитывая «неудобные» координаты, составим таблицу значений с учетом оси симметрии.
Изобразим разрывы функции в точках с координатами (–1; –6), (–4;6). График построен.
Прямая имеет с графиком функции одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через выколотую точку. То есть при m равном –6,25; –6; 6.
𝑦= 𝑥 2 +𝑥−6
𝑦= 𝑥 2 +𝑥+ 1 4 − 1 4 −6
𝑦= 𝑥+ 1 2 2 − 25 4

Вариант оформления
При решении с учащимися второй части задания, поиск количества общих точек производим полностью:

Если m < −6,25 , то нет общих точек с графиком функции;
Если m = 6,25, то одна общая точка;
Если −6,25< m < −6, то две общих точки;
Если m = −6, то одна общая точка;
Если −6 < m < 6, то две общих точки;
Если m = 6, то одна общая точка;
Если m > 6, то две общих точки.

После исследования выбираем необходимое количество решений.

Задачи ЕГЭ «Графики функций»
При изучении квадратичной функции и построении ее графика, мы рассматриваем все возможные виды в зависимости от коэффициентов. Строим огромное количество парабол, преобразовываем, используем движение, симметрию.
Однако, редко в каком учебнике можно встретить обратную задачу: задать функцию формулой по ее графику.
Это очень полезно делать своевременно, именно как обратную задачу при построении квадратичной функции (9 класс).
В помощь педагогу задачи № 10 профильного ЕГЭ по математике.
Рассмотрим типичные ситуации.

1. По рисунку хорошо определяются целочисленные координаты вершины
Определяем по рисунку координаты вершины: х = −4, у = −3.
Записываем формулу: 𝑦=(𝑥+4) 2 −3, учитывая, что на оси симметрии параболы построена классическая 𝑦=𝑥 2 , ветви вверх, поэтому а =1.
1) Далее находим ординату точки пересечения с осью Оу, раскрыв скобки: 𝑦= 𝑥 2 +8𝑥+13, откуда с = 13, следовательно у = 13.

*)есть другой способ: можно не раскрывать скобки, а подставить х = 0 в формулу и сразу получить у = 13.

2) 𝑦 −12 = (−12+4) 2 −3=61

2. Отчетливо видны нули функции, точки пересечения графика с осью Ох
Вершина имеет нецелые координаты. Зато отчетливо видны точки пересечения графика с осью Oх : х = 2 и х = 5. Значит, можем использовать разложение: 𝑦=𝑎(𝑥− 𝑥 1 )(𝑥− 𝑥 2 ). Подставим нули: 𝑦=а(𝑥−2)(𝑥−5), 𝑦=𝑎 𝑥 2 −7𝑥+10 .
Чтобы найти а, возьмем контрольную точку (1; –4) и подставим ее координаты в формулу, откуда а = 1.
Таким образом, раскрыв скобки, получим уравнение графика функции 𝑦=𝑥 2 −7𝑥+10 с помощью которого легко решаются поставленные задачи.
Абсциссу вершины находим как среднее арифметическое нулей функции: 𝑥 в = 𝑥 1 + 𝑥 2 2 ; 𝑥 в = 2+5 2 =3,5; 𝑥 в =3,5.
2) 𝑦 11 = 11 2 −7∙11+10=54

*) можно и не раскрывать скобки, подставить в формулу 𝑦= 11−2 11−5 =9∙6=54

3. Координаты вершина и нули функции не целые числа, но хорошо определяется С

Один параметр по графику считывается легко: с = 3.
Остается два неизвестных параметра, значит, берем две контрольных точки, координаты которых легко определить: (– 1; – 1) и (– 4; – 1). Подставляем координаты точек в уравнение функции и получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
𝑎 −1 2 −𝑏∙1+3=−1 𝑎 −4 2 −𝑏∙4+3=−1
– 𝑎−𝑏=−4 4𝑎−𝑏=−1
– 3a = – 3, а = 1, b = 5, тогда функция примет вид 𝑦= 𝑥 2 +5𝑥+3.
у −6 =9
𝑥 2 +5𝑥+3=9, 𝑥 2 +5𝑥−6=0, 𝑥 1 =−6, 𝑥 2 =1, значит, больший корень равен 1.


*)этот корень можно было найти, пользуясь симметрией. В первом пункте нашли, что у(−6) = 9. Больший корень уравнения 𝑥 2 +5𝑥+3=9 будет симметричен –6 относительно оси симметрии параболы, то есть х = 1. Можно провести прямую у = 9, если позволяет рисунок
с

4. Ни один из предыдущих случаев не прослеживается на рисунке: «плохая» вершина, «плохие» нули функции, не видна точка пересечения параболы с осью Оу
В этом случае берем три контрольные точки: (–2; 3), (–3; –1), (–4; –1).
Составляем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
4𝑎−2𝑏+𝑐=3 9𝑎−3𝑏+𝑐=−1 16𝑎−4𝑏+𝑐= −1
Избавляемся от с, вычитая, например, из второго уравнения первое и из третьего первое.
5𝑎−𝑏= −4 12𝑎−2𝑏= −4
Далее решаем систему методом алгебраического сложения, получаем a = 2, b =14. Находим с = 23.
Тогда функция примет вид 𝑦=2 𝑥 2 +14𝑥+23.
1) D = 12
2) y(–10)=83

1.
2.
3.