Дидактический материал по математике: "Вычисление расстояний и углов между скрещивающимися прямыми""

Трушкин Е.Д., учитель математики и информатики

Образовательное учреждение: государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области средняя общеобразовательная школа № 1 с. Приволжье муниципального района Приволжский Самарской области
+7 (927) 751 94-90
[email protected]
[email protected]
[email protected]

ВЫЧИСЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ И УГЛОВ МЕЖДУ
СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

Условие задачи. Дана пирамида DABC в основании которой лежит равнобедренный треугольник. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми ED и FG (FG – средняя линия треугольника ABC), если известно, что AC=10, AB=BC=13, AD=CD=BD=10.
Дано:
DABC – пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник.
AC=10;
AB=BC=13;
AD=CD=BD=10.
Найти:
𝜌 𝐸𝐷;𝐹𝐺 = ?

Решение:
1. Введем прямоугольную систему координат, так как представлено на рисунке.
X
Y
Z
Y
X
G
С
А
E
F
B
Y
Z
D
E
B
M
M
Q
Q

2. Координаты точек:
A (5; 0; 0)
E (0; 0; 0)
C (-5; 0; 0)
В (0; 12; 0)



M (0; 6; 0)
Рассмотрим 𝛥ABE: AB=13; AE=5.
По теореме Пифагора:
𝐵𝐸= 𝐴𝐵 2 − 𝐴𝐸 2 = 169−25 = 144 =12.

F – середина AB ⇒𝐹 𝑋 𝐴 + 𝑋 𝐵 2 ; 𝑌 𝐴 + 𝑌 𝐵 2 ; 𝑍 𝐴 + 𝑍 𝐵 2
F 5 2 ;6;0
G – середина BC ⇒𝐺 𝑋 𝐵 + 𝑋 𝐶 2 ; 𝑌 𝐵 + 𝑌 𝐶 2 ; 𝑍 𝐵 + 𝑍 𝐶 2
G − 5 2 ;6;0

D (0; 4; 6)
M – середина FG ⇒𝐹 𝑋 𝐹 + 𝑋 𝐺 2 ; 𝑌 𝐹 + 𝑌 𝐺 2 ; 𝑍 𝐹 + 𝑍 𝐺 2
M 0;6;0
Так как по условию AD=CD=BD, то высота пирамиды DABC будет проходить через центр 𝛥ABE (т.е. точку пересечения биссектрис, медиан и высот).
Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины (т.е. BM:EM=2:1)

Рассмотрим 𝛥𝐵𝑄𝐷: BQ=8; BD=10.
По теореме Пифагора:
DQ= 𝐷𝐵 2 − 𝐵𝑄 2 = 100−64 = 36 =6.

3. Расстояние между прямыми ED и FG есть расстояние от точки М, которая является серединой отрезка FG до (ABD).
Расстояние 𝜌 от точки 𝑀 0 ( 𝑥 0 ; 𝑦 0 ; 𝑧 0 ) до плоскости ax+by+cz+d=0 вычисляются по формуле:
𝜌= a x 0 +b 𝑦 0 +c 𝑧 0 +d 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
4. Составим систему уравнений:
𝑎∙5+𝑏∙0+𝑐∙0+𝑑=0 для точки 𝐴 , 𝑎∙0+𝑏∙12+𝑐∙0+𝑑=0 для точки 𝐵 , 𝑎∙0+𝑏∙4+𝑐∙6+𝑑=0 для точки 𝐷 ;
5𝑎+𝑑=0, 12𝑏+𝑑=0, 4𝑏+6𝑐+𝑑=0;
Так как (ABD) не проходит через начало координат, то будем считать d=1.

5𝑎+1=0, 12𝑏+1=0, 4𝑏+6𝑐+1=0;
5𝑎=−1, 12𝑏=−1, 4𝑏+6𝑐+1=0;
𝑎=− 1 5 , 𝑏=− 1 12 , 4𝑏+6𝑐+1=0;
𝑎=− 1 5 , 𝑏=− 1 12 , с= 1 6 (−4𝑏−1);
𝑎=− 1 5 , 𝑏=− 1 12 , с=− 1 9 .

5. Подставляем значения коэффициентов и координат точки М в формулу для нахождения расстояния:
𝜌= − 1 5 ∙0+ − 1 12 ∙6+ − 1 9 ∙0+1 − 1 5 2 + − 1 12 2 + − 1 9 2 = 1 2 1 25 + 1 144 + 1 81 = 1 2 144∙81+25∙81+25∙144 291600 = 1 2 17289 540 =
= 540 2∙3 1921 = 90 1921
Ответ:
𝜌 𝐸𝐷;𝐹𝐺 = 90 1921

Спасибо за ВНИМАНИЕ!!!