Презентация к открытому уроку "Исторический взгляд на квадратные уравнения"

Открытый урок в 8 классе «Исторический взгляд на квадратные уравнения»






Разработала учитель математики МБОУ Поваровской СОШ Морозова Надежда Сергеевна

Посредством уравнений, теорем
Я уйму всяких разрешил проблем.
Английский поэт средних веков Чосер
Найти стороны прямоугольника, площадь которого 3 , а одна сторона больше другой на 2.

Найти стороны прямоугольника, площадь которого 371, а одна сторона больше другой на 41.

“Маршрут” исследований:


1)Древний Вавилон
2)Диофант
3)Индия
4)Средневековый Восток
5) Европа

Древний Вавилон
 (I тысячелетие до н.э.)

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне (I тысячелетие до н.э.)
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики

Древний Вавилон
 Основным принципом того времени было указание к действию (делай как Я). Объяснение при решении уравнений в то время отсутствует. Вывода формул нет. Дается только рецепт решения конкретного квадратного уравнения, алгоритм носит общий характер. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вавилон
 Решение древних
Я вычел из площади одну  сторону моего квадрата и получил  870.
x2 – x = 870
Попробуй сам

Диофа́нт Александри́йский

 математик, живший предположительно в III веке н. э. Нередко упоминается как «отец алгебры». В честь Диофанта назван кратер на видимой стороне Луны.
10

В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
  Мудрым искусством его скажет усопшего век.
  Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком.
  И половину шестой встретил с пушком на щёках.
  Только минула седьмая, с подругой он обручился.
  С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
  Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
  Отнят он был у отца ранней могилой своей.
  Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
  Тут и увидел предел жизни печальной своей.
 (Перевод С. П. Боброва)
Она эквивалентна решению следующего уравнения:
Х = х/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
Х = 84

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения
В «Арифметике» Диофанта содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Задача Диофанта
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение –96»
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+х, другое же меньше, т.е.10-х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение(10+х)(10-х)=96
или же 100-х 2=96 ,
х2-4=0
Отсюда х=2.Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х=-2 для Диофанта не существует, т.к.греческая математика знала только положительные числа.

Индия

Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта(VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах2+вх=с, а0.

Одна из задач знаменитого индийского математика ХII в Бхаскары




«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?»

Бхаскаре – Акариа – индийский математик в XII век н.э.
Домашнее задание
Решить старинную индийскую задачу Бхаскары: «Квадрат пятой части обезьян, уменьшенный на три, спрятался в гроте, одна обезьяна влезла на дерево, была видна. Сколько было обезьян?»

Средневековый Восток


Аль – Хорезми — арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.

Аль-Хорезми: классификация линейных и квадратных уравнений –

6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 = bх.
 2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.
 3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.
 4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх.
 5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.
 6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

Средневековый Восток
Задача Мухаммеда ибн Мусы ал-Хорезми
“Квадрат и 10 корней равны 39”.
 Эта задача соответствует уравнению х2+10х=39.
Ал-Хорезми предлагает решать ее следующим образом:

если бы у нас был квадрат со стороной (х+5), тогда его можно было бы разбить на квадрат со стороной х, два прямоугольника 5х и квадрат со стороной 5 (см. рисунок). Нам известно, что х 2+2*5х=39. Тогда площадь большого квадрата 39+25=64, а значит его сторона равна 8. Но сторона этого квадрата равна х+5, то есть х=8-5=3.
Ответ: х=3.

Домашнее задание




Решить квадратное уравнение
геометрическим способом
в стиле Аль-Хорезми

у2 + 6 у – 16 = 0

Знаменитое уравнение Аль Хорезми:  «Квадрат и десять корней равны 39». x2 + 10x = 39 (IX век) .
В своем трактате он пишет: «Правило таково: раздвой число корней, получится в этой задаче пять, умножь на это равное ему, будет двадцать пять. Прибавь это к тридцатидевяти, будет шестьдесят четыре. Извлеки из этого корень, будет восемь, и вычти из этого половину числа корней, т.е. пять, останется три: это и будет корень квадрата, который ты искал»

Домашнее задание



Решить уравнение
в стиле Аль-Хорезми
«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается уравнения корень  ).

Выводы:

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году.
После работ Жирара (1592-1632), Декарта и Ньютона метод решения квадратных уравнений приобрёл нынешний вид.
Выявляются новые методы решения квадратных уравнений.