Презентация по математике. Математическая вертикаль. Комбинаторика 7 кл

Комбинаторика
7класс
Савина Светлана Ивановна
ГБОУ Школа № 1508, Москва

Определение
Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

МЭШ ID:4412399

Определение
Комбинаторика – это раздел математики,
посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами…
К комбинаторным задачам относятся также задачи построения математических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.

Задача 1.
В столовой есть 2 первых блюда и 3 вторых. Сколько различных вариантов обеда из 2 блюд можно заказать?







6 способов

Второе блюдо:
Первое блюдо:

Дерево
возможных вариантов
Дерево возможных вариантов (граф) – это схематическая запись решения задачи, позволяющая выписать все возможные комбинации, не пропустив ни одной. Ветви этого дерева «растут» сверху вниз. Они изображаются ломаными. На каждом уровне дерево разветвляется на столько ветвей, сколько по условию задачи имеется возможностей.
Каждый путь по этому «дереву» соответствует
одному из способов выбора, число способов выбора равно числу точек в нижнем ряду «дерева».

Задача 2.
Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 белые и 4 желтые розы?




Важно помнить, что выбирается не просто красная, белая или желтая роза, а одна конкретная роза: эта красная или
эта белая, или эта желтая роза.

9
способов

Правило сложения
Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В – m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.
A – n способов
В – m способов
А или В – (n + m) способов

Задача 1.
В столовой есть 2 первых блюда и 3 вторых. Сколько различных вариантов обеда из 2 блюд можно заказать?







3 + 3 = 2 ∙ 3 = 6 способов

Второе блюдо:
2
3
Первое блюдо:

Правило умножения
Если некоторый элемент А можно выбрать
n способами, а элемент В – m способами, то пару А и В можно выбрать n ∙ m способами.

A – n способов
В – m способов
А и В – (n ∙ m) способов

Задачи
Сколькими способами можно проехать из города A в город С, если схема дорог изображена на рисунках.

1 Решение.
рис 1а) Из А до В можно доехать по 2 дорогам. Если мы до В ехали по первой, то у нас есть 4 варианта продолжить путь до С. Если же до В мы ехали по второй дороге, то у нас опять 4 способа продолжить свой путь до С. Итого
4 + 4 = 8 способов.
рис 1б) До города В можно доехать 3 путями. В конце каждого из них у нас выбор из 4 дорог для продолжения пути. Итого 4 + 4 + 4 = 12 способов.
рис 2а) Можно ехать через В, либо через D. Через B можно проехать 3  4 = 12 способами. Через D можно проехать 2  3 = 6 способами. Общее количество путей равно сумме путей через B и D 12 + 6 = 18.
рис 2б) От А до В можно доехать по двум дорогам. Пусть мы поехали по первой. Тогда у нас есть 3  4 = 12 способов доехать от B до C (см. задачу 1б). Точно так же, если мы из А в B поедем по второй дороге, дальше у нас будет снова 12 способов проехать оставшийся путь из В в С. Итого 12 + 12 = 24 способа.
рис 2в) В самом начале придется выбрать: ехать через E, через B или через F.
Доехать из А в С через Е 2  1 = 2 способа. Доехать из А в С через В
3  4  3 = 36 способов. Доехать из А в С через F 2  3  3 = 18 способов.
Всего 2 + 36 + 18 = 56 способов.

Задачи.
2. В прихожей стоят 2 левых и 3 правых сапога, все пять разного цвета. Сколькими разными способами можно обуться, надев один левый и один правый сапог?



3 . Тот же вопрос, если в прихожей стоят 5 левых и 13 правых сапог.

2-3 Решение.
2. Если мы надели один левый, то в пару ему можно выбрать любой из трех правых. Т.е. 3 + 3 = 6 способов.
3. 5  13 = 65 способов. (к любому левому можно выбрать один из 13 правых)

Задачи.
4. Из города А в город B ведут 3 дороги, а из города B в город С ведёт 5 дорог. Какие дороги можно закрыть, чтобы число способов проехать из города A в город С стало равно 9?

4 Решение.
Т.к. количество путей равно произведению числа дорог из А в В на число дорог из В в С, то нам нужно представить 9 как произведение двух сомножителей. 9 представляется в таком виде двумя способами: 9 = 1  9 и 9 = 3  3. Так как число дорог увеличивать нельзя, то мы не можем сделать так, чтобы из А в В или из В в С вело 9 дорог, т.е. первый случай не реализуется. А вот сделать так, чтобы из А в В и из В в С вело по 3 дороги мы можем – для этого достаточно закрыть любые две дороги, ведущие из В в С.

Ответ: Можно закрыть любые две дороги,
ведущие из В в С.

Задачи.
5. В точке A сидит математический паук. Ему удается двигаться по паутине только вниз. Сколькими способами он может пробраться в точку B, если паутина имеет вид:

5 Решение.
5б.Будем в каждую точку ставить число – сколькими способами до нее можно добраться. Очевидно, что в точки P1 и P2 можно дойти только одним способом. Напишем туда 1. В точку К2 можно прийти из точки P1 или из точки P2, всего 2 способа. Очевидно, что до К1 и К3 тоже можно добраться только одним способом. Посмотрим, какие пути ведут точку S2. Они делятся на пути, идущие до точки K2, а потом по отрезку K2S2, и пути, идущие до точки K3, а потом по отрезку K3S2. (Из других точек нельзя пойти непосредственно в S2.) До точки K2 мы можем дойти двумя способами, значит, прийти в S2 через K2 мы можем тоже двумя способами. Прийти в S2 через K3 мы можем одним способом. Всего три способа прийти в S2. Аналогично до S1 есть три пути. В точку B мы можем придти только из точек S1 и S2. Поэтому все пути до В делятся на пути, идущие до B через S1 и идущие до B через S2. До S1, как мы уже выяснили, можно дойти 3 способами, поэтому через точку S1 в B ведут 3 пути и еще 3 через точку S2, итого 6.
(Буквенные обозначения узлов введены для удобства изложения. На занятии можно не вводить никаких букв, а писать только цифры – количество способов дойти до вершины.)

5 Решение.(продолжение)
Ответ: а) 4; б) 6; в) 10; г) 216.

г) Заметим, что из А в В можно дойти 6 способами, из С в D – тоже шестью, и из D в B тоже 6.
Получаем, что всего способов 6  6  6 = 216.

Задачи.
6. Паук из задачи 5 сплёл следующие паутины
(см. рисунки). Сколькими способам теперь он может пробраться из точки A в точку В?

6 Решение.
6. а) Тут можно последовательно найти число способов дойти до каждого узла, а можно заметить, что это дойти из А до D, а потом от D до В и плюс два способа через правую и левую вершины квадрата: 10  10 + 2 = 102.
Ответ: 102.
б) Ответ: 39

Задачи.
7. У мамы в коллекции 31 вазочка (все вазочки разные). Из них 10 красных, 8 синих, 8 зелёных и 5 жёлтых. Папа разбил три вазочки. Он позвонил маме по телефону и сообщил, что разбил три вазочки, все – разного цвета. После чего сразу же повесил трубку. Сколько различных гипотез о том, какие именно вазочки разбиты, может построить мама (дозвониться до папы ей не удаётся)?

7 Решение.
Всего 4 варианта распределения по цветам:
красный, синий, зеленый (ксз)
красный, синий, желтый (ксж)
красный, зеленый, желтый (кзж)
синий, зеленый, желтый (сзж).
Если папа разбил одну красную, одну синюю и одну зеленую вазочку, то таких вариантов всего будет 10  8  8 = 640. Далее, если это ксж, то вариантов 10  8  5 = 400, если это кзж, то 10  8  5 = 400. Если сзж, то 8 8  5 = 320. Итого 640 + 400 + 400 + 320 = 1760.
Ответ: 1760 различных гипотез.

Задачи.
8. а) В левой нижней клетке прямоугольника 215 сидит математическая черепаха. За один ход она умеет двигаться на одну клетку вправо или на одну клетку вверх. Каким числом способов она может добраться до правой верхней клетки?

б) Тот же вопрос для прямоугольника 315.

8 Решение.
а) Путь черепахи состоит из нескольких ходов вправо, потом хода вверх, потом до конца вправо. Т.е. способ определяется тем, в какой клетке она пошла вверх. Вверх она может пойти сразу же, во второй клетке, в третьей и т.д. в 15-й, т.е. всего 15 вариантов.
Ответ: 15 способов.

б) Способ первый. Можно заметить, что черепаха – это повернутый математический паук. Т.е. в каждой клетке мы можем записать число – сколькими способами черепаха может добраться до этой клетки. Заполнив все клетки, получим, что до угловой она может добраться 120 способами.
Способ второй. Заметим, что путь черепахи состоит из 16 ходов, из которых два хода вверх и 14 ходов вправо. Пути определяются тем, на каком именно ходу черепаха сделает ходы вверх. Если она первым же ходом пошла вверх, то второй ход вверх она может сделать из любой из 15 клеток второй строчки, т.е. в этом случае 15 способов продолжить свой путь. Если в первый раз черепаха пошла вверх из 2-й клетки, то сделать второй ход вверх у нее будет уже 14 способов. И так далее.
Всего получается 15 + 14 + 13 + 12 + … + 2 + 1 = 120 способов.
Ответ: 120 различных путей.

Задачи.
9. Каким числом способов можно нарисовать в строчку
а) один крестик и 14 ноликов?

б) 2 крестика и 14 ноликов?

9 Решение.
См. решение задачи 8б).
а) 15 (у нас всего 15 символов и нам нужно выбрать место, на котором будет стоять нолик).
б) Последовательности из 14 ноликов и двух крестиков кодируют всевозможные пути черепахи из левого нижнего в правый верхний угол на доске 315 (крестик означает, что на этом ходу черепаха делает ход вверх), т.е. ответ такой же, как в задаче 8б) – всего 120 способов.
Количество таких строчек можно было посчитать и следующим образом: у нас есть 16 позиций. Количество способов заполнить их 14 ноликами и 2 крестиками равно числу способов выбрать из них 2 места, на которых будут стоять крестики. Первое место мы можем выбрать любое из 16 – т.е. 16 способами, а второе – любое из оставшихся 15 – это 15 вариантов.
Т.е. всего выбрать место для первого крестика, а потом для второго мы можем 15  16 = 240 способами. При этом каждый вариант мы посчитали два раза (например, вариант «первый крестик поставить на 5 место, а второй на 7 место» = варианту «первый крестик поставить на 7 место, а второй – на 5 место»). Поэтому получившееся число способов надо разделить на 2.
Итого 240 : 2 = 120.

Задачи.
10. Математическая черепаха сидит в левой нижней клетке прямоугольника 3 n. Докажите, что количество способов, которыми она может добраться до правого верхнего угла, равно количеству способов нарисовать в строчку
2 крестика и (n – 1) нолик.

10 Решение.
См. соответствие, построенное в задаче 9б).

Задачи.
11. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4, и 7, если цифры могут повторяться.

11 Решение.
1 способ: перебор вариантов 11, 14, 17,
41, 44, 47,
71, 74, 77

2 способ:






4
7
4
1
1
7
1 цифра
2 цифра
4
1
7
4
1
7
11
14
17
41
44
47
71
74
77

Задачи.
12. Никита сдает тест по математике. Учитель приготовил по одному заданию по каждой из четырех тем: «задача», «неравенства», « уравнения», и «вычисления». Каждое задание написано на отдельной карточке. Никита вытягивает наугад одну из них. После попытки решить задание (удачной или не удачной) он вытягивает еще одну карточку из оставшихся. Чтобы сдать тест , необходимо выполнить два любых задания, после этого работа прекращается. Никита всегда безошибочно решает уравнение и выполняет вычисления, но еще ни разу не смог решить неравенство и задачу. Сколько всего способов сдачи теста Никитой по математике?

12 Решение.
11. Составим дерево возможных вариантов
*
№1 З Н У В
№2 Н У В З У В З Н В З Н У

№3 У В Н В Н У У В З В З У Н В З В Н У З У

№4 В У В У В У В У В В У У

Задачи.
13. Сколько шестизначных чисел, в записи которых каждая цифра используется только один раз, можно составить из цифр:
а) 1, 2, 5, 6, 7, 8;
б) 0, 2, 5, 6, 7, 8 .



Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр:

а) 1, 3, 5, 7, 9;
б) 0, 2, 4, 6, 8.

13 и 14 Решение.
13.а) 6! = 720 чисел
* * * * * *
6∙5∙4∙3∙2∙1=6!
б) * * * * * *
5∙5∙4∙3∙2∙1=6!−5!=720−120=600 чисел

а) 120 чисел = 5∙4∙3∙2
б) 96 чисел = 4∙4∙3∙2

Задачи.
15. Сколько существует семизначных телефонных номеров , в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

15 Решение.
15. 9∙9∙8∙7∙6∙5∙4=544320 номеров

И. Р. Высоцкий
И. В. Ященко
«Универсальный многоуровневый сборник задач 7-9 классы. ТВ и С»,
М.«Просвещение», 2020.

Спасибо за внимание.