Презентация к уроку геометрии 8 класс "Теорема о вписанном угле"

Вписанный угол

Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности,
а стороны пересекают её, называется вписанным.
Вписанный угол
В
А
С
АВС - вписанный
А
В
С
Е
Р
Н
К
М
О
Т
У
S
F
D
Назови вписанный угол

Вписанный угол
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается.
Дано: Окр.(О;r),
АВС – вписанный.
Доказать: АВС = ½ АС.
Доказательство:
1 случай. ВС проходит через центр окружности.
Проведём ОА. Тогда дуга АС меньше полуокружности.
АОС – центральный, значит АОС = АС
Следовательно, 2 В = АС.
Значит, АВС = ½ АС
АОС – внешний угол АВС, значит, АОС = А + В = 2 В
АВС – равнобедренный, значит, В = А
B
A
C
O

Вписанный угол
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается.
Доказательство:
2случай. Центр окружности лежит внутри угла АВС.
А
В
С
О
Проведём луч ВО, который пересекает дугу АС в точке К.
Дано: Окр.(О;r),
АВС – вписанный.
К
АВК и СВК – вписанные, сторона каждого
проходит через центр окружности.
Доказать: АВС = ½ АС.
АВС = АВК + СВК = ½ АК + ½ СК = ½ ( АК + СК) =
= ½ АС.

Вписанный угол
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается.
Доказательство:
3 случай. Центр окружности лежит вне угла АВС.
А
В
С
О
Проведём луч ВО, который пересекает Oкр(О;r) в точке К.
Дано: Окр.(О;r),
АВС - вписанный.
К
АВК и СВК – вписанные, сторона каждого
проходит через центр окружности.
Доказать: АВС = ½ АС.
АВС = АВК - СВК = ½ АК - ½ СК = ½ ( АК - СК) =
= ½ АС.

Реши задачи
Найти: х
1.
800
х
2.
х
820
4.
650
х
5.
х
3.
300
х

Реши задачи
600
х
6.
А
В
С
К
1300
х
А
В
С
7.
О
300
х
А
С
В
8.
Найти: х

Следствия
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой.
А
В
С
К
А
В
С
О

Нужные выводы
А
В
С
О
К
М
АМК = ½ ( АК - ВС)
А
В
С
О
К
М
АМК = ½ ( АК + ВС)

О
О
А
В
С
ВАС = ½ АС
А
В
С
К
ВАК = ½ ( ВК - ВС)
Нужные выводы

А
В
С
О
К
М
Свойство пересекающихся хорд
Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то
произведение отрезков одной хорды равно
произведению отрезков другой хорды.
Дано: Окр.(О;r),
М – точка пересечения хорд АВ и СК.
Доказать: АМ ВМ = СМ КМ.

Доказательство:
Проведём АК и ВС. Рассмотрим АКМ и ВСМ.
К = В, как вписанные, опирающиеся на АС.
Значит, АКМ и ВСМ подобны, следовательно,
сходственные стороны пропорциональны:
А = С, как вписанные, опирающиеся на ВК.
АМ ВМ = СМ КМ.
, а, значит,

Нужные свойства
А
В
С
К
М
АМ АВ = АК АС
А
В
С
К
АВ2 = АК АС

Реши задачи
2
6
3
4
х
Найти х
1.
С
2.
А
В
К
Дано: АК = 9, АС =4.
Найти: АВ.
6